Упр.17.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 17.43 Решите уравнение: logx(3x-корень 18)+logx2(6+x корень 72 + 3×2)=lg27(x2)/lgx2.

Подробный ответ

Преобразуем выражения под логарифмами:

$$ 3x-\sqrt{18}=3(x-\sqrt2), $$
$$ 6+x\sqrt{72}+3x^2=3x^2+6x\sqrt2+6=3(x+\sqrt2)^2. $$

Тогда уравнение принимает вид

$$ \log_x 3(x-\sqrt2)+\log_{x^2} 3(x+\sqrt2)^2=\frac{\lg 27x^2}{\lg x^2}. $$

Используем формулы перехода к десятичным логарифмам:

$$ \log_x 3(x-\sqrt2)=\frac{\lg 3+\lg(x-\sqrt2)}{\lg x}, $$
$$ \log_{x^2} 3(x+\sqrt2)^2=\frac{\lg 3+2\lg(x+\sqrt2)}{2\lg x}, $$
$$ \frac{\lg 27x^2}{\lg x^2}=\frac{\lg 27+2\lg x}{2\lg x}. $$

Умножим всё уравнение на $$2\lg x$$:

$$ 2\lg 3+2\lg(x-\sqrt2)+\lg 3+2\lg(x+\sqrt2)=\lg 27+2\lg x. $$

Так как $$\lg 27=3\lg 3$$, получаем:

$$ 3\lg 3+2\lg(x-\sqrt2)+2\lg(x+\sqrt2)=3\lg 3+2\lg x. $$

Сокращаем и объединяем логарифмы:

$$ 2\lg\bigl((x-\sqrt2)(x+\sqrt2)\bigr)=2\lg x, $$
$$ 2\lg(x^2-2)=2\lg x. $$

Следовательно,

$$ x^2-2=x. $$

Решаем квадратное уравнение:

$$ x^2-x-2=0, $$
$$ (x-2)(x+1)=0. $$

$$ x=2 \quad \text{или} \quad x=-1. $$

Проверим область допустимых значений: $$x>0$$, $$x\ne 1$$, $$x-\sqrt2>0$$, значит $$x>\sqrt2$$. Подходит только $$x=2$$.