Упр.17.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 17.42 Решите систему уравнений: а)cистема 2x*2y=16, log3(x)+log3(y)=1; б)cистема (1/3)2x* (1/3)^-y=1/27, log2(2x)-log2(y)=2; в)cистема 9x*3y=81, log2(x)+log2(y)=1; г)cистема (1/2)x*(корень 2)y= log9(3), log4(y)-log4(x)=1.

Подробный ответ

а)
$$2^x \cdot 2^y = 16$$
$$2^{x+y} = 2^4$$
$$x+y=4$$
$$\log_3 x+\log_3 y=1$$
$$\log_3(xy)=\log_3 3$$
$$xy=3$$
Подставим $$y=4-x$$:
$$x(4-x)=3$$
$$x^2-4x+3=0$$
$$ (x-1)(x-3)=0 $$
$$x=1 \text{ или } x=3$$
Тогда $$y=3$$ или $$y=1$$. С учётом $$x>0,\ y>0$$ получаем:
$$(1;3),\ (3;1).$$
б)
$$\left(\frac13\right)^{2x}\cdot \left(\frac13\right)^{-y}=\frac1{27}$$
$$\left(\frac13\right)^{2x-y}=\left(\frac13\right)^3$$
$$2x-y=3$$
$$y=2x-3$$
$$\log_2(2x)-\log_2 y=2$$
$$\log_2\left(\frac{2x}{y}\right)=2$$
$$\frac{2x}{y}=4$$
$$x=2y$$
Подставим в $$y=2x-3$$:
$$y=2(2y)-3$$
$$y=4y-3$$
$$3y=3$$
$$y=1,\quad x=2$$
С учётом области определения $$x>0,\ y>0$$:
$$(2;1).$$
в)
$$9^x\cdot 3^y=81$$
$$3^{2x}\cdot 3^y=3^4$$
$$2x+y=4$$
$$y=4-2x$$
$$\log_2 x+\log_2 y=1$$
$$\log_2(xy)=\log_2 2$$
$$xy=2$$
Подставим:
$$x(4-2x)=2$$
$$2x^2-4x+2=0$$
$$x^2-2x+1=0$$
$$(x-1)^2=0$$
$$x=1,\quad y=2$$
С учётом $$x>0,\ y>0$$:
$$(1;2).$$
г)
$$\left(\frac12\right)^x\cdot (\sqrt2)^y=\log_9 3$$
$$\log_9 3=\frac12$$
Тогда
$$\left(\frac12\right)^x\cdot (\sqrt2)^y=\frac12$$
$$2^{-x}\cdot 2^{y/2}=2^{-1}$$
$$-x+\frac y2=-1$$
$$y=2x-2$$
$$\log_4 y-\log_4 x=1$$
$$\log_4\left(\frac yx\right)=1$$
$$\frac yx=4$$
$$y=4x$$
Решим систему:
$$4x=2x-2$$
$$2x=-2$$
$$x=-1$$
Но по области определения $$x>0,\ y>0$$, значит решений нет.