Упр.17.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 17.41 а)cистема log5(x+y)=1, log6(x)+log6(y)=1. б)cистема log 0,5(x+2y)=log 0,5 (3x+y), log 7(x2-y)=log 7(x); в)cистема log 9(x-y)=1/2, log 64(x)-log 64(y)=1/3; г)cистема log 1/3(3x-y)=log 1/3(x+4), log 9(x2+x-y)=log 9(x2).

1. а)

   $$\begin{cases} \log_5(x+y)=1,\\ \log_6 x+\log_6 y=1 \end{cases}$$

   Из первого уравнения:
   $$x+y=5.$$
   Тогда $$y=5-x.$$

   Из второго уравнения:
   $$\log_6(xy)=1,$$
   значит
   $$xy=6.$$
   Подставим $$y=5-x$$:
   $$ x(5-x)=6, $$
   $$ x^2-5x+6=0, $$
   $$ (x-2)(x-3)=0. $$
   Тогда $$x=2$$ или $$x=3$$.

   При $$x=2$$ получаем $$y=3$$, при $$x=3$$ получаем $$y=2$$.

2. б)

   $$\begin{cases} \log_{0,5}(x+2y)=\log_{0,5}(3x+y),\\ \log_7(x^2-y)=\log_7 x \end{cases}$$

   Из первого уравнения:
   $$x+2y=3x+y,$$
   откуда
   $$y=2x.$$

   Из второго уравнения:
   $$x^2-y=x.$$
   Подставим $$y=2x$$:
   $$ x^2-2x=x, $$
   $$ x^2-3x=0, $$
   $$ x(x-3)=0. $$
   С учётом области определения $$x>0$$ получаем $$x=3$$, тогда
   $$y=6.$$

3. в)

   $$\begin{cases} \log_9(x-y)=\dfrac12,\\ \log_{64}x-\log_{64}y=\dfrac13 \end{cases}$$

   Из первого уравнения:
   $$x-y=9^{1/2}=3,$$
   значит
   $$y=x-3.$$

   Из второго уравнения:
   $$\log_{64}\frac{x}{y}=\frac13,$$
   значит
   $$\frac{x}{y}=64^{1/3}=4,$$
   то есть
   $$x=4y.$$

   Подставим $$y=x-3$$:
   $$ x=4(x-3), $$
   $$ x=4x-12, $$
   $$ 3x=12, $$
   $$ x=4,\quad y=1. $$

4. г)

   $$\begin{cases} \log_{1/3}(3x-y)=\log_{1/3}(x+4),\\ \log_9(x^2+x-y)=\log_9 x^2 \end{cases}$$

   Из первого уравнения:
   $$3x-y=x+4,$$
   откуда
   $$y=2x-4.$$

   Из второго уравнения:
   $$x^2+x-y=x^2,$$
   значит
   $$x-y=0,$$
   то есть
   $$x=y.$$

   Тогда
   $$ x=2x-4, $$
   $$ x=4,\quad y=4. $$

Ответ

а) $$ (2;3),\ (3;2) $$;
б) $$ (3;6) $$;
в) $$ (4;1) $$;
г) $$ (4;4) $$.