Упр.17.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите систему уравнений: 17.40 а) система log2(x2+3x-2)-log2(y)=1, 3x-y=2; б) система 2x+y=7, log3(x2+4x-3)-log3(y)=1.

а) Из второго уравнения выразим $$y$$:

$$3x-y=2,$$

$$y=3x-2.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\log_2(x^2+3x-2)-\log_2(3x-2)=1.$$

Используем свойство логарифмов:

$$\log_2\frac{x^2+3x-2}{3x-2}=1.$$

Тогда

$$\frac{x^2+3x-2}{3x-2}=2,$$

$$x^2+3x-2=6x-4,$$

$$x^2-3x+2=0,$$

$$\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0.$$

Отсюда $$x=1$$ или $$x=2$$.

Найдём $$y$$:

при $$x=1$$: $$y=3\cdot 1-2=1$$;

при $$x=2$$: $$y=3\cdot 2-2=4$$.

Проверка области определения: $$3x-2>0$$ и $$x^2+3x-2>0$$ выполняется для обеих пар.

б) Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$2x+y=7,$$

$$y=7-2x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$\log_3(x^2+4x-3)-\log_3(7-2x)=1.$$

Используем свойство логарифмов:

$$\log_3\frac{x^2+4x-3}{7-2x}=1.$$

Тогда

$$\frac{x^2+4x-3}{7-2x}=3,$$

$$x^2+4x-3=21-6x,$$

$$x^2+10x-24=0,$$

$$\left(x+12\right)\left(x-2\right)=0.$$

Отсюда $$x=-12$$ или $$x=2$$.

Найдём $$y$$:

при $$x=-12$$: $$y=7-2\cdot(-12)=31$$;

при $$x=2$$: $$y=7-2\cdot 2=3$$.

Проверка области определения: $$7-2x>0$$ и $$x^2+4x-3>0$$ выполняется для обеих пар.

Ответ

а) $$\left(1;1\right),\ \left(2;4\right);$$ б) $$\left(-12;31\right),\ \left(2;3\right).$$