Упр.17.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 17.4. а) log cosx(корень 3/2) = 1; в) log sinx(1/2) = 1; б) log cosx(1/2)= 2; г)log sinx(3/4) =2.
а) $$\log_{\cos x}\frac{\sqrt{3}}{2}=1$$
По определению логарифма:
$$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Тогда
$$x=\pm \arccos\frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
б) $$\log_{\cos x}\frac{1}{2}=2$$
По определению логарифма:
$$\cos^2 x=\frac{1}{2}$$
Отсюда
$$\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Следовательно,
$$x=\pm \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
в) $$\log_{\sin x}\frac{1}{2}=1$$
По определению логарифма:
$$\sin x=\frac{1}{2}$$
Тогда
$$x=(-1)^n\arcsin\frac{1}{2}+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
г) $$\log_{\sin x}\frac{3}{4}=2$$
По определению логарифма:
$$\sin^2 x=\frac{3}{4}$$
Отсюда
$$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Следовательно,
$$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Ответ
а) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n$$; б) $$x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n$$; в) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$; г) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.
