Упр.17.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 17.39 а)x2log36(5×2-2x-3)-xlog1/6(корень (5×2-2x-3))=x2+x б)x2 log2((3+x)/10) — x2log1/2(2+3x)=x2-4+2 log корень 2((3×2+11x+6)/10).

Подробный ответ

а) Используем формулу $$\log_{36} A=\frac12\log_6 A$$ и свойство $$\log_{1/6}\sqrt{A}=-\frac12\log_6 A.$$ Тогда

$$ x^2\log_{36}(5x^2-2x-3)-x\log_{1/6}\sqrt{5x^2-2x-3}=x^2+x $$

$$ \frac12x^2\log_6(5x^2-2x-3)+\frac12x\log_6(5x^2-2x-3)=x^2+x. $$

Пусть $$y=\log_6(5x^2-2x-3).$$ Тогда

$$ \frac12x^2y+\frac12xy=x^2+x $$

$$ x^2y+xy=2x^2+2x $$

$$ x^2(y-2)+x(y-2)=0 $$

$$ x(x+1)(y-2)=0. $$

Отсюда либо $$x=0,$$ либо $$x=-1,$$ либо $$y=2.$$

Проверим найденные значения:

$$ \log_6(5x^2-2x-3)=2 $$

$$ 5x^2-2x-3=36 $$

$$ 5x^2-2x-39=0. $$

$$ D=(-2)^2-4\cdot5\cdot(-39)=4+780=784 $$

$$ x=\frac{2\pm28}{10} $$

$$ x_1=-\frac{13}{5},\quad x_2=3. $$

Область определения: $$5x^2-2x-3>0.$$ Корень $$x=0$$ не подходит, так как $$5\cdot0^2-2\cdot0-3<0.$$ Корень $$x=-1$$ подходит, а из уравнения для $$y$$ получаем $$x=3$$ и $$x=-\frac{13}{5}.$$

б) Преобразуем левую часть:

$$ x^2\log_2\frac{3+x}{10}-x^2\log_{1/2}(2+3x)=x^2-4+2\log_{\sqrt2}\frac{3x^2+11x+6}{10}. $$

Так как $$\log_{1/2}A=-\log_2 A,$$ а $$2\log_{\sqrt2}B=4\log_2 B,$$ получаем

$$ x^2\log_2\frac{3+x}{10}+x^2\log_2(2+3x)=x^2-4+4\log_2\frac{3x^2+11x+6}{10}. $$

Объединим логарифмы:

$$ x^2\log_2\frac{(x+3)(3x+2)}{10}=x^2-4+4\log_2\frac{3x^2+11x+6}{10}. $$

Так как $$3x^2+11x+6=(x+3)(3x+2),$$ введём замену

$$ y=\log_2\frac{3x^2+11x+6}{10}. $$

Тогда

$$ x^2y=x^2-4+4y $$

$$ x^2y-x^2-4y+4=0 $$

$$ (x^2-4)(y-1)=0 $$

$$ (x-2)(x+2)(y-1)=0. $$

Следовательно, либо $$x=2,$$ либо $$x=-2,$$ либо $$y=1.$$

Из $$y=1$$ имеем

$$ \log_2\frac{3x^2+11x+6}{10}=1 $$

$$ \frac{3x^2+11x+6}{10}=2 $$

$$ 3x^2+11x-14=0. $$

$$ D=11^2-4\cdot3\cdot(-14)=121+168=289 $$

$$ x=\frac{-11\pm17}{6} $$

$$ x_1=1,\quad x_2=-\frac{14}{3}. $$

Проверим область определения: $$x+3>0,\; 2+3x>0,$$ то есть $$x>-\frac23.$$ Поэтому $$x=-2$$ и $$x=-\frac{14}{3}$$ не подходят. Остаются $$x=1$$ и $$x=2.$$