Упр.17.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 17.37. a) log5(6 — 5х) = 1 — х; б) log3(4 * 3^(x-1) — 1) = 2х — 1.

1. а) Область определения: $$6-5^x>0.$$

   Преобразуем уравнение:

   $$ \log_5(6-5^x)=1-x=\log_5 5^{\,1-x} $$
   $$ 6-5^x=5^{\,1-x} $$

   Умножим на $$5^x$$:

   $$ 6\cdot 5^x-5^{2x}=5 $$
   $$ 5^{2x}-6\cdot 5^x+5=0 $$

   Положим $$t=5^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:

   $$ t^2-6t+5=0 $$
   $$ (t-1)(t-5)=0 $$
   $$ t=1 \text{ или } t=5 $$

   Возвращаемся к $$x$$:

   $$ 5^x=1 \Rightarrow x=0, \qquad 5^x=5 \Rightarrow x=1 $$

2. б) Область определения: $$4\cdot 3^{x-1}-1>0.$$

   Преобразуем уравнение:

   $$ \log_3(4\cdot 3^{x-1}-1)=2x-1=\log_3 3^{\,2x-1} $$
   $$ 4\cdot 3^{x-1}-1=3^{2x-1} $$

   Умножим на $$3$$:

   $$ 4\cdot 3^x-3=3^{2x} $$
   $$ 3^{2x}-4\cdot 3^x+3=0 $$

   Положим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:

   $$ t^2-4t+3=0 $$
   $$ (t-1)(t-3)=0 $$
   $$ t=1 \text{ или } t=3 $$

   Возвращаемся к $$x$$:

   $$ 3^x=1 \Rightarrow x=0, \qquad 3^x=3 \Rightarrow x=1 $$

Ответ

а) $$x=0,\,1$$; б) $$x=0,\,1$$.