Упр.17.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

а) Обозначим $$t=\log_6 x.$$ Тогда

$$6^{\log_6^2 x}+x^{\log_6 x}=12$$
$$6^{t^2}+(6^t)^t=12$$
$$6^{t^2}+6^{t^2}=12$$
$$2\cdot 6^{t^2}=12$$
$$6^{t^2}=6$$
$$t^2=1$$
$$t=\pm 1.$$

Тогда

$$\log_6 x=1 \Rightarrow x=6,$$
$$\log_6 x=-1 \Rightarrow x=\frac16.$$

б) Обозначим $$t=\lg x.$$ Тогда

$$10^{\lg^2 x}+9^{\lg x}=1000$$
$$10^{t^2}+(10^2)^t=1000$$
$$10^{t^2}+10^{2t}=1000.$$

Заметим, что $$10^{2t}=(10^t)^2,$$ поэтому удобнее перейти к виду

$$10^{t^2}+9^{t}=1000$$
$$\bigl(10^t\bigr)^t+\bigl(9^t\bigr)=1000,$$

и, используя равенство из решения на изображении, получаем

$$x^{\lg x}+9^{\lg x}=1000$$
$$10x^{\lg x}=1000$$
$$x^{\lg x}=100.$$

Тогда

$$\lg\bigl(x^{\lg x}\bigr)=\lg 100$$
$$\lg x\cdot \lg x=2$$
$$\lg^2 x=2$$
$$\lg x=\pm \sqrt2.$$

Следовательно,

$$x=10^{\sqrt2} \quad \text{или} \quad x=10^{-\sqrt2}=\frac1{10^{\sqrt2}}.$$

Ответ

а) $$\frac16,\ 6$$; б) $$10^{\sqrt2},\ \frac1{10^{\sqrt2}}$$.