Упр.17.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 17.34 а)xlgx-2=1000; б)xlog0,5(x)-2=0,125; в)x(5+log2(x))=1/16; г)xlog1/3(x)-4 = 27.

Подробный ответ

а) $$x^{\lg x-2}=1000.$$
Так как $$1000=10^3,$$ получаем
$$ \lg\left(x^{\lg x-2}\right)=\lg 10^3 $$
$$ \lg x\cdot(\lg x-2)=3 $$
$$ \lg^2 x-2\lg x-3=0. $$
Положим $$t=\lg x.$$ Тогда
$$ t^2-2t-3=0 $$
$$ (t-3)(t+1)=0 $$
$$ t_1=3,\quad t_2=-1. $$
$$ \lg x=3 \Rightarrow x=10^3=1000, $$
$$ \lg x=-1 \Rightarrow x=10^{-1}=0{,}1. $$
б) $$x^{\log_{0,5}x-2}=0{,}125.$$
Так как $$0{,}125=0{,}5^3,$$ имеем
$$ \log_{0,5}\left(x^{\log_{0,5}x-2}\right)=\log_{0,5}0{,}5^3 $$
$$ \log_{0,5}x\cdot(\log_{0,5}x-2)=3 $$
$$ \log_{0,5}^2x-2\log_{0,5}x-3=0. $$
Положим $$t=\log_{0,5}x.$$ Тогда
$$ t^2-2t-3=0 $$
$$ (t-3)(t+1)=0 $$
$$ t_1=3,\quad t_2=-1. $$
$$ \log_{0,5}x=3 \Rightarrow x=0{,}5^3=0{,}125, $$
$$ \log_{0,5}x=-1 \Rightarrow x=0{,}5^{-1}=2. $$
в) $$x^{5+\log_2 x}=\frac{1}{16}.$$
Так как $$\frac{1}{16}=2^{-4},$$ получаем
$$ \log_2\left(x^{5+\log_2 x}\right)=\log_2 2^{-4} $$
$$ \log_2 x\cdot(5+\log_2 x)=-4 $$
$$ \log_2^2x+5\log_2 x+4=0. $$
Положим $$t=\log_2 x.$$ Тогда
$$ t^2+5t+4=0 $$
$$ (t+1)(t+4)=0 $$
$$ t_1=-1,\quad t_2=-4. $$
$$ \log_2 x=-1 \Rightarrow x=2^{-1}=\frac{1}{2}, $$
$$ \log_2 x=-4 \Rightarrow x=2^{-4}=\frac{1}{16}. $$
г) $$x^{\log_{1/3}x-4}=27.$$
Так как $$27=\left(\frac13\right)^{-3},$$ имеем
$$ \log_{1/3}\left(x^{\log_{1/3}x-4}\right)=\log_{1/3}27 $$
$$ \log_{1/3}x\cdot(\log_{1/3}x-4)=-3 $$
$$ \log_{1/3}^2x-4\log_{1/3}x+3=0. $$
Положим $$t=\log_{1/3}x.$$ Тогда
$$ t^2-4t+3=0 $$
$$ (t-1)(t-3)=0 $$
$$ t_1=1,\quad t_2=3. $$
$$ \log_{1/3}x=1 \Rightarrow x=\left(\frac13\right)^1=\frac13, $$
$$ \log_{1/3}x=3 \Rightarrow x=\left(\frac13\right)^3=\frac{1}{27}. $$