Упр.17.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 17.33 а)xlog3(x)=81; б)xlog0,5(x)=1/16; в)xlog2(x)=16; г)xlog1/3(x)=1/81.

Подробный ответ

а) $$x^{\log_3 x}=81$$
Пусть $$t=\log_3 x$$, тогда $$x=3^t$$ и
$$x^{\log_3 x}=(3^t)^t=3^{t^2}.$$
Так как $$81=3^4$$, получаем
$$3^{t^2}=3^4 \Rightarrow t^2=4 \Rightarrow t=\pm 2.$$
Тогда
$$x=3^2=9,\qquad x=3^{-2}=\frac{1}{9}.$$
б) $$x^{\log_{0,5} x}=\frac{1}{16}$$
Пусть $$t=\log_{0,5} x$$, тогда $$x=(0,5)^t$$ и
$$x^{\log_{0,5} x}=((0,5)^t)^t=(0,5)^{t^2}.$$
Так как $$\frac{1}{16}=\left(\frac{1}{2}\right)^4=(0,5)^4$$, имеем
$$t^2=4 \Rightarrow t=\pm 2.$$
Следовательно,
$$x=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4},\qquad x=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=4.$$
в) $$x^{\log_2 x}=16$$
Пусть $$t=\log_2 x$$, тогда $$x=2^t$$ и
$$x^{\log_2 x}=(2^t)^t=2^{t^2}.$$
Так как $$16=2^4$$, получаем
$$2^{t^2}=2^4 \Rightarrow t^2=4 \Rightarrow t=\pm 2.$$
Тогда
$$x=2^2=4,\qquad x=2^{-2}=\frac{1}{4}.$$
г) $$x^{\log_{1/3} x}=\frac{1}{81}$$
Пусть $$t=\log_{1/3} x$$, тогда $$x=\left(\frac{1}{3}\right)^t$$ и
$$x^{\log_{1/3} x}=\left(\left(\frac{1}{3}\right)^t\right)^t=\left(\frac{1}{3}\right)^{t^2}.$$
Так как $$\frac{1}{81}=\left(\frac{1}{3}\right)^4$$, имеем
$$t^2=4 \Rightarrow t=\pm 2.$$
Следовательно,
$$x=\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9},\qquad x=\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=9.$$