Упр.17.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 17.32 а)1+log x((4-x)/10)=(lgx2 — 1)logx(10); б)1+2logx(2)*log4(10-x)=2/log4(x).

Подробный ответ

а) Область допустимых значений: $$x>0,\; x\ne 10,\; x\ne 4.$$

Преобразуем уравнение:

$$ 1+\log_x\frac{4-x}{10}=(\lg x^2-1)\cdot \log_x 10 $$
$$ 1+\log_x(4-x)-\log_x 10=(2\lg x-1)\cdot \frac{1}{\lg x} $$
$$ 1+\frac{\lg(4-x)}{\lg x}-\frac{1}{\lg x}=\frac{2\lg x-1}{\lg x} $$
$$ \lg x+\lg(4-x)-1=2\lg x-1 $$
$$ \lg(4-x)=\lg x $$
$$ 4-x=x $$
$$ 2x=4 $$
$$ x=2 $$

Проверка: $$2>0,\; 2\ne 4,\; 2\ne 10.$$ Значит, корень подходит.

б) Область допустимых значений: $$x>0,\; x\ne 1,\; x<10.$$

Преобразуем уравнение:

$$ 1+2\log_x 2\cdot \log_4(10-x)=\frac{2}{\log_4 x} $$
$$ 1+2\cdot \frac{1}{\log_2 x}\cdot \frac{\log_2(10-x)}{\log_2 4}=\frac{2}{\frac{\log_2 x}{\log_2 4}} $$
$$ 1+\frac{\log_2(10-x)}{\log_2 x}=\frac{4}{\log_2 x} $$
$$ \log_2 x+\log_2(10-x)=4 $$
$$ \log_2\bigl(x(10-x)\bigr)=\log_2 16 $$
$$ x(10-x)=16 $$
$$ x^2-10x+16=0 $$
$$ (x-2)(x-8)=0 $$
$$ x=2 \text{ или } x=8 $$

Оба значения удовлетворяют ОДЗ.