Упр.17.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а)

$$\log_{0{,}5}4x+\log_2\frac{x^2}{8}=8$$

Так как $$\log_{0{,}5}4=-2$$, а $$\log_{0{,}5}x=-\log_2 x$$, получаем:

$$(-2-\log_2 x)^2+\log_2 x^2-\log_2 8=8$$

Пусть $$y=\log_2 x$$. Тогда

$$(-2-y)^2+2y-3=8$$

$$y^2+4y+4+2y-3=8$$

$$y^2+6y-7=0$$

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-7)=36+28=64$$

$$y_{1,2}=\frac{-6\pm 8}{2}$$

$$y_1=-7,\quad y_2=1$$

Тогда:

$$\log_2 x=-7 \Rightarrow x=2^{-7}=\frac{1}{128}$$

$$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2$$

б)

$$\log_3^2 x+\log_9^2 x+\log_{27}^2 x=\frac{49}{9}$$

Пусть $$t=\log_3 x$$. Тогда

$$\log_9 x=\frac{t}{2},\quad \log_{27} x=\frac{t}{3}$$

Подставим:

$$t^2+\left(\frac{t}{2}\right)^2+\left(\frac{t}{3}\right)^2=\frac{49}{9}$$

$$t^2+\frac{t^2}{4}+\frac{t^2}{9}=\frac{49}{9}$$

$$t^2\left(1+\frac14+\frac19\right)=\frac{49}{9}$$

$$t^2\cdot \frac{49}{36}=\frac{49}{9}$$

$$t^2=4$$

$$t=\pm 2$$

Тогда:

$$\log_3 x=2 \Rightarrow x=9$$

$$\log_3 x=-2 \Rightarrow x=\frac{1}{9}$$

Ответ

а) $$\frac{1}{128},\ 2$$; б) $$\frac{1}{9},\ 9$$.