Упр.17.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 17.30. a) logx (2)* log 2x(2) = log 4x(2); 6) log 4(x + 2) * logx(2) = 1.

1. а) Обозначим $$t=\log_2 x$$. Тогда

   $$\log_x 2=\frac{1}{\log_2 x}=\frac{1}{t}, \qquad \log_{2x}2=\frac{1}{\log_2(2x)}=\frac{1}{1+t}, \qquad \log_{4x}2=\frac{1}{\log_2(4x)}=\frac{1}{2+t}.$$

   Подставим в уравнение:

   $$\frac{1}{t}\cdot \frac{1}{1+t}=\frac{1}{2+t}.$$

   Отсюда

   $$2+t=t+t^2+t \quad \Rightarrow \quad t^2=2.$$

   Значит,

   $$t=\pm \sqrt{2}.$$

   Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

   $$\log_2 x=\sqrt{2} \Rightarrow x=2^{\sqrt{2}},$$

   $$\log_2 x=-\sqrt{2} \Rightarrow x=2^{-\sqrt{2}}.$$

2. б) Обозначим $$t=\log_x 2$$. Тогда

   $$\log_4(x+2)=\frac{\log_2(x+2)}{2}, \qquad \log_x 2=\frac{1}{\log_2 x}.$$

   Уравнение принимает вид:

   $$\frac{\log_2(x+2)}{2}\cdot \frac{1}{\log_2 x}=1.$$

   Умножим на $$2\log_2 x$$:

   $$\log_2(x+2)=2\log_2 x.$$

   Тогда

   $$\log_2(x+2)=\log_2 x^2 \Rightarrow x+2=x^2.$$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$x^2-x-2=0$$

   $$ (x-2)(x+1)=0 $$

   $$x=2 \text{ или } x=-1.$$

   С учётом области допустимых значений $$x>0$$ подходит только $$x=2$$.

Ответ

а) $$2^{-\sqrt{2}},\ 2^{\sqrt{2}}$$; б) $$2$$.