Упр.17.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 17.29. a) log 3(x) + 1 = 2 log x(3); в) log7(x) — 1 = 6 logx(7); 6) 2 logx(5) — 3 = -log5(x); r) log2(x) + 9 logx(2) = 10.

Подробный ответ

$$\log_3 x+1=2\log_x 3$$
Так как $$\log_x 3=\dfrac{1}{\log_3 x}$$, получаем:
$$\log_3 x+1=\dfrac{2}{\log_3 x}$$
Пусть $$y=\log_3 x$$, тогда
$$y+1=\dfrac{2}{y}$$
$$y^2+y-2=0$$
$$\left(y+2\right)\left(y-1\right)=0$$
$$y=-2 \text{ или } y=1$$
Тогда
$$\log_3 x=-2 \Rightarrow x=3^{-2}=\dfrac{1}{9}$$
$$\log_3 x=1 \Rightarrow x=3^1=3$$
$$2\log_x 5-3=-\log_5 x$$
Так как $$\log_x 5=\dfrac{1}{\log_5 x}$$, получаем:
$$\dfrac{2}{\log_5 x}-3=-\log_5 x$$
Пусть $$y=\log_5 x$$, тогда
$$\dfrac{2}{y}-3=-y$$
$$y^2-3y+2=0$$
$$\left(y-1\right)\left(y-2\right)=0$$
$$y=1 \text{ или } y=2$$
Тогда
$$\log_5 x=1 \Rightarrow x=5$$
$$\log_5 x=2 \Rightarrow x=25$$
$$\log_7 x-1=6\log_x 7$$
Так как $$\log_x 7=\dfrac{1}{\log_7 x}$$, получаем:
$$\log_7 x-1=\dfrac{6}{\log_7 x}$$
Пусть $$y=\log_7 x$$, тогда
$$y-1=\dfrac{6}{y}$$
$$y^2-y-6=0$$
$$\left(y-3\right)\left(y+2\right)=0$$
$$y=3 \text{ или } y=-2$$
Тогда
$$\log_7 x=3 \Rightarrow x=7^3=343$$
$$\log_7 x=-2 \Rightarrow x=7^{-2}=\dfrac{1}{49}$$
$$\log_2 x+9\log_x 2=10$$
Так как $$\log_x 2=\dfrac{1}{\log_2 x}$$, получаем:
$$\log_2 x+\dfrac{9}{\log_2 x}=10$$
Пусть $$y=\log_2 x$$, тогда
$$y+\dfrac{9}{y}=10$$
$$y^2-10y+9=0$$
$$\left(y-1\right)\left(y-9\right)=0$$
$$y=1 \text{ или } y=9$$
Тогда
$$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2$$
$$\log_2 x=9 \Rightarrow x=2^9=512$$