Упр.17.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

$$\frac{1}{\log_2 x-3}+\frac{4}{\log_2 x+1}=\frac{4}{\log_2^2 x-2\log_2 x-3}.$$
Обозначим $$t=\log_2 x$$. Тогда
$$\frac{1}{t-3}+\frac{4}{t+1}=\frac{4}{(t-3)(t+1)}.$$
Умножим на $$ (t-3)(t+1) $$:
$$ (t+1)+4(t-3)=4. $$
$$ t+1+4t-12=4 $$
$$ 5t=15 $$
$$ t=3. $$
Но при $$t=3$$ знаменатель $$t-3=0$$, значит это значение не подходит.
$$\frac{\log_3 x}{2\log_3 x-6}+\frac{9}{9-\log_3^2 x}=\frac{8}{2\log_3 x+6}.$$
Обозначим $$t=\log_3 x$$. Тогда
$$ \frac{t}{2(t-3)}+\frac{9}{(3-t)(3+t)}=\frac{8}{2(t+3)}. $$
Умножим на $$2(t-3)(t+3)$$:
$$ t(t+3)+9\cdot(-2)=8(t-3). $$
$$ t^2+3t-18=8t-24 $$
$$ t^2-5t+6=0 $$
$$ (t-2)(t-3)=0. $$
Получаем $$t=2$$ или $$t=3$$. Значение $$t=3$$ не подходит, так как обращает в нуль знаменатель. Тогда
$$ \log_3 x=2,\quad x=3^2=9. $$
$$\frac{1}{5-4\lg x}+\frac{4}{1+\lg x}=3.$$
Обозначим $$t=\lg x$$. Тогда
$$ \frac{1}{5-4t}+\frac{4}{1+t}=3. $$
Умножим на $$ (5-4t)(1+t) $$:
$$ (1+t)+4(5-4t)=3(5-4t)(1+t). $$
$$ 1+t+20-16t=15-12t+15t-12t^2 $$
$$ 12t^2-18t+6=0 $$
$$ 2t^2-3t+1=0 $$
$$ (2t-1)(t-1)=0. $$
Тогда $$t=\frac12$$ или $$t=1$$. Оба значения допустимы:
$$ \lg x=\frac12 \Rightarrow x=10^{1/2}=\sqrt{10}, $$
$$ \lg x=1 \Rightarrow x=10. $$
$$\frac{-4}{2\lg x-\lg^2 x}+\frac{2}{2-\lg x}=\frac12.$$
Обозначим $$t=\lg x$$. Тогда
$$ \frac{-4}{t(2-t)}+\frac{2}{2-t}=\frac12. $$
Умножим на $$2t(2-t)$$:
$$ -8+4t=t(2-t). $$
$$ -8+4t=2t-t^2 $$
$$ t^2+2t-8=0 $$
$$ (t+4)(t-2)=0. $$
Получаем $$t=-4$$ или $$t=2$$. Значение $$t=2$$ не подходит, так как обращает в нуль знаменатель. Тогда
$$ \lg x=-4,\quad x=10^{-4}=0{,}0001. $$