Упр.17.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$\lg 100x \cdot \lg x=-1$$

   Так как $$\lg 100x=\lg 100+\lg x=2+\lg x,$$ получаем

   $$\left(2+\lg x\right)\lg x=-1.$$

   Обозначим $$y=\lg x.$$ Тогда

   $$y^2+2y+1=0,$$

   $$\left(y+1\right)^2=0,$$

   $$y=-1.$$

   Следовательно,

   $$\lg x=-1,\qquad x=10^{-1}=0{,}1.$$

2. $$\lg^2 10x+\lg 10x=6-3\lg \frac{1}{x}$$

   Преобразуем:

   $$\lg 10x=\lg x+1,\qquad \lg \frac{1}{x}=-\lg x.$$

   Тогда

   $$\left(\lg x+1\right)^2+\left(\lg x+1\right)=6+3\lg x.$$

   Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда

   $$\left(y+1\right)^2+\left(y+1\right)=6+3y,$$

   $$y^2+2y+1+y+1=6+3y,$$

   $$y^2-4=0,$$

   $$y=\pm 2.$$

   1) $$\lg x=-2,\quad x=10^{-2}=0{,}01.$$

   2) $$\lg x=2,\quad x=10^2=100.$$

3. $$2\lg x^2-\lg^2(-x)=4$$

   Так как $$x<0,$$ то $$\lg x^2=2\lg(-x).$$ Обозначим $$t=\lg(-x).$$ Тогда

   $$2\cdot 2t-t^2=4,$$

   $$t^2-4t+4=0,$$

   $$\left(t-2\right)^2=0,$$

   $$t=2.$$

   Значит,

   $$\lg(-x)=2,\qquad -x=10^2=100,\qquad x=-100.$$

4. $$\lg^2 x^3+\lg x^2=40$$

   Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда

   $$\left(3y\right)^2+2y=40,$$

   $$9y^2+2y-40=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=2^2-4\cdot 9\cdot(-40)=4+1440=1444,$$

   $$\sqrt D=38.$$

   Тогда

   $$y_1=\frac{-2-38}{18}=-\frac{20}{9},\qquad y_2=\frac{-2+38}{18}=2.$$

   Следовательно,

   $$\lg x=-\frac{20}{9},\qquad x=10^{-20/9};$$

   $$\lg x=2,\qquad x=100.$$

Ответ

а) $$0{,}1$$; б) $$0{,}01,\ 100$$; в) $$-100$$; г) $$10^{-20/9},\ 100$$.