Упр.17.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$\lg^2 x-\lg x+1=\frac{9}{\lg 10x}$$

   Так как $$\lg 10x=\lg x+1,$$ получаем

   $$\lg^2 x-\lg x+1=\frac{9}{1+\lg x}.$$

   Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда

   $$y^2-y+1=\frac{9}{1+y}.$$

   Умножим на $$y+1$$:

   $$ (y+1)(y^2-y+1)=9 $$

   $$ y^3+1=9 $$

   $$ y^3=8,\quad y=2. $$

   Тогда

   $$\lg x=2,\quad x=10^2=100.$$

2. $$\log_3^2 x+3\log_3 x+9=\frac{37}{\log_3\frac{x}{27}}$$

   Так как $$\log_3\frac{x}{27}=\log_3 x-3,$$ имеем

   $$\log_3^2 x+3\log_3 x+9=\frac{37}{\log_3 x-3}.$$

   Пусть $$y=\log_3 x.$$ Тогда

   $$y^2+3y+9=\frac{37}{y-3}.$$

   Умножим на $$y-3$$:

   $$ (y-3)(y^2+3y+9)=37 $$

   $$ y^3-27=37 $$

   $$ y^3=64,\quad y=4. $$

   Тогда

   $$\log_3 x=4,\quad x=3^4=81.$$

3. $$\lg^2 x-2\lg x+4=\frac{9}{\lg 100x}$$

   Так как $$\lg 100x=\lg x+2,$$ получаем

   $$\lg^2 x-2\lg x+4=\frac{9}{2+\lg x}.$$

   Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда

   $$y^2-2y+4=\frac{9}{y+2}.$$

   Умножим на $$y+2$$:

   $$ (y+2)(y^2-2y+4)=9 $$

   $$ y^3+8=9 $$

   $$ y^3=1,\quad y=1. $$

   Тогда

   $$\lg x=1,\quad x=10.$$

4. $$\log_2^2 x+7\log_2 x+49=-\frac{218}{\log_2\frac{x}{128}}$$

   Так как $$\log_2\frac{x}{128}=\log_2 x-7,$$ имеем

   $$\log_2^2 x+7\log_2 x+49=-\frac{218}{\log_2 x-7}.$$

   Пусть $$y=\log_2 x.$$ Тогда

   $$y^2+7y+49=-\frac{218}{y-7}.$$

   Умножим на $$y-7$$:

   $$ (y-7)(y^2+7y+49)=-218 $$

   $$ y^3-343=-218 $$

   $$ y^3=125,\quad y=5. $$

   Тогда

   $$\log_2 x=5,\quad x=2^5=32.$$

Ответ

а) $$100$$; б) $$81$$; в) $$10$$; г) $$32$$.