Упр.17.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите уравнение: 017.21. a) log2(x3 — 1) — log2(x2 + х + 1) = 4; б) log 0,5 (x6 — 6×4 + 12×2 — 8) = -3; в) log 0,3(x3 + 27) — log 0,3 (x2 — 3x + 9) = -1; г) log5 (x6 + 9х4 + 27×2 + 27) = 3.

Подробный ответ

$$\log_2(x^3-1)-\log_2(x^2+x+1)=4$$
$$\log_2\frac{x^3-1}{x^2+x+1}=4$$
$$\frac{x^3-1}{x^2+x+1}=2^4=16$$
$$\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x^2+x+1}=16$$
$$x-1=16$$
$$x=17$$
Проверка области определения:
$$x^3-1>0,\quad x^2+x+1>0$$
При $$x=17$$ все условия выполняются.
$$\log_{0,5}(x^6-6x^4+12x^2-8)=-3$$
$$x^6-6x^4+12x^2-8=(x^2-2)^3$$
$$\log_{0,5}(x^2-2)^3=\log_{0,5}(0,5)^{-3}=\log_{0,5}2^3$$
Так как основания логарифмов равны и они положительны, то
$$ (x^2-2)^3=2^3 $$
$$x^2-2=2$$
$$x^2=4$$
$$x=\pm 2$$
Проверка: при $$x=\pm 2$$ аргумент логарифма положителен.
$$\log_{0,3}(x^3+27)-\log_{0,3}(x^2-3x+9)=-1$$
$$\log_{0,3}\frac{x^3+27}{x^2-3x+9}=-1$$
$$\log_{0,3}\frac{(x+3)(x^2-3x+9)}{x^2-3x+9}=-1$$
$$\log_{0,3}(x+3)=-1$$
$$x+3=(0,3)^{-1}=\frac{10}{3}$$
$$x=\frac{1}{3}$$
Проверка области определения:
$$x^3+27>0,\quad x^2-3x+9>0$$
При $$x=\frac13$$ условия выполняются.
$$\log_5(x^6+9x^4+27x^2+27)=3$$
$$x^6+9x^4+27x^2+27=(x^2+3)^3$$
$$\log_5(x^2+3)^3=\log_5 5^3$$
Тогда
$$ (x^2+3)^3=5^3 $$
$$x^2+3=5$$
$$x^2=2$$
$$x=\pm\sqrt2$$