Упр.17.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 17.17. a) log3(x — 2) + log3(x + 2) = log3(2x — 1); б) log 11 (x + 4) + log 11 (x — 7) = log 11 (7 — x); в) log 0,6 (x + 3) + log 0,6 (x — 3) = log 0,6(2x — 1); r) log 0,4 (x + 2) + log 0,4 (x + 3) = log 0,4(1 — 2x).

1. а)

   $$\log_3(x-2)+\log_3(x+2)=\log_3(2x-1)$$
   $$\log_3\bigl((x-2)(x+2)\bigr)=\log_3(2x-1)$$
   $$x^2-4=2x-1$$
   $$x^2-2x-3=0$$
   $$D=4+12=16$$
   $$x_{1,2}=\frac{2\pm4}{2}$$
   $$x_1=-1,\quad x_2=3$$

   ОДЗ:

   $$x-2>0,\quad x+2>0,\quad 2x-1>0$$
   $$x>2$$

   Подходит только $$x=3$$.

2. б)

   $$\log_{11}(x+4)+\log_{11}(x-7)=\log_{11}(7-x)$$
   $$\log_{11}\bigl((x+4)(x-7)\bigr)=\log_{11}(7-x)$$
   $$x^2-3x-28=7-x$$
   $$x^2-2x-35=0$$
   $$D=4+140=144$$
   $$x_{1,2}=\frac{2\pm12}{2}$$
   $$x_1=-5,\quad x_2=7$$

   ОДЗ:

   $$x+4>0,\quad x-7>0,\quad 7-x>0$$
   $$x>7,\quad x<7$$

   ОДЗ не выполняется ни при одном из корней, значит корней нет.

3. в)

   $$\log_{0,6}(x+3)+\log_{0,6}(x-3)=\log_{0,6}(2x-1)$$
   $$\log_{0,6}\bigl((x+3)(x-3)\bigr)=\log_{0,6}(2x-1)$$
   $$x^2-9=2x-1$$
   $$x^2-2x-8=0$$
   $$D=4+32=36$$
   $$x_{1,2}=\frac{2\pm6}{2}$$
   $$x_1=-2,\quad x_2=4$$

   ОДЗ:

   $$x+3>0,\quad x-3>0,\quad 2x-1>0$$
   $$x>3$$

   Подходит только $$x=4$$.

4. г)

   $$\log_{0,4}(x+2)+\log_{0,4}(x+3)=\log_{0,4}(1-2x)$$
   $$\log_{0,4}\bigl((x+2)(x+3)\bigr)=\log_{0,4}(1-2x)$$
   $$x^2+5x+6=1-2x$$
   $$x^2+7x+5=0$$
   $$D=49-20=29$$
   $$x_{1,2}=\frac{-7\pm\sqrt{29}}{2}$$

   ОДЗ:

   $$x+2>0,\quad x+3>0,\quad 1-2x>0$$
   $$x>-2,\quad x<\frac12$$

   Из корней подходит только

   $$x=\frac{-7+\sqrt{29}}{2}$$

Ответ

а) $$3$$; б) корней нет; в) $$4$$; г) $$\frac{-7+\sqrt{29}}{2}$$.