Упр.17.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 17.19 а)log 2((x-3)(x+5)) + log 2 ((x-3)/(x+5))=2; log 3((x+3)(x+5)) + log 3 ((x+3)/(x+5))=2;

Подробный ответ

а) Объединим логарифмы с одинаковым основанием:

$$\log_2\bigl((x-3)(x+5)\bigr)+\log_2\frac{x-3}{x+5}=2$$
$$\log_2\left((x-3)(x+5)\cdot \frac{x-3}{x+5}\right)=2$$
$$\log_2 (x-3)^2=2$$
$$ (x-3)^2=2^2=4 $$
$$ x-3=\pm 2 $$
$$ x=5 \text{ или } x=1 $$

Проверим область определения:

$$ (x-3)(x+5)>0 $$
$$ x<-5 \text{ или } x>3 $$

Число $$x=1$$ не подходит, а $$x=5$$ подходит.

б)

$$\log_3\bigl((x+3)(x+5)\bigr)+\log_3\frac{x+3}{x+5}=4$$
$$\log_3\left((x+3)(x+5)\cdot \frac{x+3}{x+5}\right)=4$$
$$\log_3 (x+3)^2=4$$
$$ (x+3)^2=3^4=81 $$
$$ x+3=\pm 9 $$
$$ x=6 \text{ или } x=-12 $$

Проверим область определения:

$$ (x+3)(x+5)>0 $$
$$ x<-5 \text{ или } x>-3 $$

Число $$x=-12$$ подходит, а $$x=6$$ тоже подходит.