Упр.17.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 17.18. a) log23(2x — 1) — log23(x) = 0; б) log 0,5 (4x — 1) — log 0,5 (7x — 3) = 1; в) log 3,4 (x2 — 5x + 8) — log 3,4 (x) = 0; г) log 1/2(x + 9) — log 1/2 (8 — 3x) = 2.

1. $$\log_{23}(2x-1)-\log_{23}x=0$$

   $$\log_{23}(2x-1)=\log_{23}x$$

   Тогда

   $$2x-1=x$$

   $$x=1$$

   Проверка области определения: $$2x-1>0,\ x>0$$, при $$x=1$$ все условия выполняются.

2. $$\log_{0,5}(4x-1)-\log_{0,5}(7x-3)=1$$

   $$\log_{0,5}\frac{4x-1}{7x-3}=1$$

   $$\frac{4x-1}{7x-3}=0,5$$

   $$\frac{4x-1}{7x-3}=\frac12$$

   $$2(4x-1)=7x-3$$

   $$8x-2=7x-3$$

   $$x=-1$$

   Но область определения:

   $$4x-1>0,\quad 7x-3>0$$

   $$x>\frac14,\quad x>\frac37$$

   Следовательно, $$x=-1$$ не подходит. Корней нет.

3. $$\log_{3,4}(x^2-5x+8)-\log_{3,4}x=0$$

   $$\log_{3,4}(x^2-5x+8)=\log_{3,4}x$$

   Тогда

   $$x^2-5x+8=x$$

   $$x^2-6x+8=0$$

   $$D=36-32=4$$

   $$x_{1,2}=\frac{6\pm2}{2}$$

   $$x_1=2,\quad x_2=4$$

   Оба корня удовлетворяют области определения: $$x>0$$.

4. $$\log_{\frac12}(x+9)-\log_{\frac12}(8-3x)=2$$

   $$\log_{\frac12}\frac{x+9}{8-3x}=2$$

   $$\frac{x+9}{8-3x}=\left(\frac12\right)^2=\frac14$$

   $$4(x+9)=8-3x$$

   $$4x+36=8-3x$$

   $$7x=-28$$

   $$x=-4$$

   Проверка области определения:

   $$x+9>0,\quad 8-3x>0$$

   При $$x=-4$$ условия выполняются.

Ответ

а) $$1$$; б) корней нет; в) $$2,\,4$$; г) $$-4$$.