Упр.17.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 17.14. a) log x (2х2 + х — 2) = 3; б) log (x-1)((12x — х2 — 19)) = 3.

а) Пусть

$$\log_x(2x^2+x-2)=3.$$

Тогда

$$2x^2+x-2=x^3.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^3-2x^2-x+2=0.$$

Разложим на множители:

$$x^3-2x^2-x+2=(x^2-1)(x-2)=(x-1)(x+1)(x-2).$$

Получаем корни:

$$x=-1,\; x=1,\; x=2.$$

Но для логарифма основание должно удовлетворять условиям:

$$x>0,\quad x\ne 1.$$

Из найденных корней подходит только $$x=2$$.

б) Пусть

$$\log_{x-1}(12x-x^2-19)=3.$$

Тогда

$$12x-x^2-19=(x-1)^3.$$

Раскроем скобки:

$$12x-x^2-19=x^3-3x^2+3x-1.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^3-2x^2-9x+18=0.$$

Разложим на множители:

$$x^3-2x^2-9x+18=(x^2-9)(x-2)=(x-3)(x+3)(x-2).$$

Корни уравнения:

$$x=-3,\; x=2,\; x=3.$$

Проверим область определения:

$$x-1>0,\quad x-1\ne 1,\quad 12x-x^2-19>0.$$

То есть

$$x>1,\quad x\ne 2.$$

Из найденных корней подходит только $$x=3$$.

Ответ

а) $$2$$; б) $$3$$.