Упр.17.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите уравнение: D17.13. a) log x(х + 3) = log x (2x + 9); б) log x(х2 — 2х) = log x (3х — 4); в) log x (х — 1) = log x (2х — 8); г) log x (х2 — 6) = log x (-х).

Подробный ответ

а) $$\log_x(x+3)=\log_x(2x+9)$$
Так как логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то при допустимых значениях аргументы равны:
$$x+3=2x+9$$
$$x=-6$$
Проверим область определения:
$$x>0,\quad x\ne 1,\quad x+3>0,\quad 2x+9>0$$
Из условий следует $$x>0$$, поэтому $$x=-6$$ не подходит.
б) $$\log_x(x^2-2x)=\log_x(3x-4)$$
При допустимых значениях:
$$x^2-2x=3x-4$$
$$x^2-5x+4=0$$
$$D=25-16=9$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=4$$
Проверим ОДЗ:
$$x>0,\quad x\ne 1,\quad x^2-2x>0,\quad 3x-4>0$$
Из найденных корней подходит только $$x=4$$.
в) $$\log_x(x-1)=\log_x(2x-8)$$
Тогда
$$x-1=2x-8$$
$$x=7$$
Проверим ОДЗ:
$$x>0,\quad x\ne 1,\quad x-1>0,\quad 2x-8>0$$
При $$x=7$$ все условия выполняются.
г) $$\log_x(x^2-6)=\log_x(-x)$$
При допустимых значениях:
$$x^2-6=-x$$
$$x^2+x-6=0$$
$$D=1+24=25$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2}$$
$$x_1=-3,\quad x_2=2$$
Но область определения требует:
$$x>0,\quad x\ne 1,\quad x^2-6>0,\quad -x>0$$
Из условия $$-x>0$$ получаем $$x<0$$, что противоречит $$x>0$$. Следовательно, корней нет.