Упр.17.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 17.12. Решите уравнение: а) log 2 (2х3 — х2 — 2х) = log 2 (х3 + 2х2 + 2х); б) log 3 (3х3 — 2х2 + 4х) = log 3 (2х3 + 2х2 + 3х — 6); в) log 0,2 (х3 + 5х2 + 6х + 1) = log 0,2 (-х3 + 2х2 + Зх); г) log 0,4 (2×3 + х2 — 5х — 7) = log 0,4 (х3 — 2х2 — 2х + 7).

Подробный ответ

$$\log_2(2x^3-x^2-2x)=\log_2(x^3+2x^2+2x)$$
Так как основания логарифмов одинаковы и больше нуля, приравниваем аргументы:
$$2x^3-x^2-2x=x^3+2x^2+2x$$
$$x^3-3x^2-4x=0$$
$$x(x^2-3x-4)=0$$
$$x(x-4)(x+1)=0$$
$$x=0,\; x=4,\; x=-1$$
Проверим область определения:
$$x^3+2x^2+2x=x(x^2+2x+2)>0$$
Так как $$x^2+2x+2>0$$ при всех $$x$$, то нужно $$x>0$$.
Из найденных корней подходит только $$x=4$$.
$$\log_3(3x^3-2x^2+4x)=\log_3(2x^3+2x^2+3x-6)$$
Приравниваем аргументы:
$$3x^3-2x^2+4x=2x^3+2x^2+3x-6$$
$$x^3-4x^2+x+6=0$$
$$x^3-4x^2+x+6=(x-2)(x^2-2x-3)=0$$
$$x=2,\; x=3,\; x=-1$$
Область определения:
$$3x^3-2x^2+4x=x(3x^2-2x+4)>0$$
Так как $$3x^2-2x+4>0$$ при всех $$x$$, то $$x>0$$.
Следовательно, подходят корни $$x=2$$ и $$x=3$$.
$$\log_{0,2}(x^3+5x^2+6x+1)=\log_{0,2}(-x^3+2x^2+3x)$$
Приравниваем аргументы:
$$x^3+5x^2+6x+1=-x^3+2x^2+3x$$
$$2x^3+3x^2+3x+1=0$$
Проверим рациональные корни: $$x=-\frac12$$ подходит:
$$2\left(-\frac12\right)^3+3\left(-\frac12\right)^2+3\left(-\frac12\right)+1=0$$
Разложим на множители:
$$2x^3+3x^2+3x+1=(2x+1)(x^2+x+1)=0$$
$$x=-\frac12$$
Область определения:
$$-x^3+2x^2+3x=x(-x^2+2x+3)=x(3-x)(x+1)>0$$
Отсюда $$x\in(-\infty,-1)\cup(0,3)$$.
Корень $$x=-\frac12$$ не принадлежит области определения, значит решений нет.
$$\log_{0,4}(2x^3+x^2-5x-7)=\log_{0,4}(x^3-2x^2-2x+7)$$
Приравниваем аргументы:
$$2x^3+x^2-5x-7=x^3-2x^2-2x+7$$
$$x^3+3x^2-3x-14=0$$
$$x^3+3x^2-3x-14=(x-2)(x^2+5x+7)=0$$
$$x=2$$
Так как $$D=25-28=-3<0$$, квадратный множитель действительных корней не имеет.
Проверка области определения показывает, что при $$x=2$$ оба аргумента логарифмов положительны.