Упр.17.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 17.11. а) Известно, что f(x) = log3(5x — 2). Решите уравнение f(x) = f(3х — 1). б) Известно, что f(x) — log2(8x — 1). Решите уравнение f(x)=f(x/2 + 5) в) Известно, что f(x) = log 0,2 (3х — 6). Решите уравнение f(1/3*x — 1) = f(x2 — 1). г) Известно, что fix) — log1,4(4x + 1). Решите уравнение f(1/4*x-3)=f(x2-3).

Подробный ответ

а) $$f(x)=\log_3(5x-2), \quad f(x)=f(3x-1).$$
Тогда
$$\log_3(5x-2)=\log_3(15x-7).$$
Приравниваем аргументы:
$$5x-2=15x-7,$$
$$10x=5,$$
$$x=\frac12.$$
Проверим область определения:
$$5x-2>0 \Rightarrow x>\frac25,$$
$$15x-7>0 \Rightarrow x>\frac7{15}.$$
Значение $$x=\frac12$$ подходит.
б) $$f(x)=\log_2(8x-1), \quad f(x)=f\!\left(\frac x2+5\right).$$
Тогда
$$\log_2(8x-1)=\log_2\!\left(8\left(\frac x2+5\right)-1\right)=\log_2(4x+39).$$
Приравниваем аргументы:
$$8x-1=4x+39,$$
$$4x=40,$$
$$x=10.$$
Проверим область определения:
$$8x-1>0 \Rightarrow x>\frac18,$$
$$4x+39>0 \Rightarrow x>-\frac{39}{4}.$$
Значение $$x=10$$ подходит.
в) $$f(x)=\log_{0,2}(3x-6), \quad f\!\left(\frac13x-1\right)=f(x^2-1).$$
Тогда
$$\log_{0,2}\!\left(3\left(\frac13x-1\right)-6\right)=\log_{0,2}\!\left(3(x^2-1)-6\right).$$
Упростим аргументы:
$$\log_{0,2}(x-9)=\log_{0,2}(3x^2-9).$$
Приравниваем аргументы:
$$x-9=3x^2-9,$$
$$3x^2-x=0,$$
$$x(3x-1)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=\frac13.$$
Проверим область определения:
$$x-9>0 \Rightarrow x>9,$$
$$3x^2-9>0 \Rightarrow x^2>3.$$
Ни одно из найденных значений не подходит.
г) $$f(x)=\log_{1,4}(4x+1), \quad f\!\left(\frac14x-3\right)=f(x^2-3).$$
Тогда
$$\log_{1,4}\!\left(4\left(\frac14x-3\right)+1\right)=\log_{1,4}\!\left(4(x^2-3)+1\right).$$
Упростим аргументы:
$$\log_{1,4}(x-11)=\log_{1,4}(4x^2-11).$$
Приравниваем аргументы:
$$x-11=4x^2-11,$$
$$4x^2-x=0,$$
$$x(4x-1)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=\frac14.$$
Проверим область определения:
$$x-11>0 \Rightarrow x>11,$$
$$4x^2-11>0 \Rightarrow x^2>\frac{11}{4}.$$
Ни одно из найденных значений не подходит.