Упр.16.8 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 16.9 а)log1/2(16)*log5(корень 3 степени 5/25): 3log3(2); б)log3(27):log1/2(4)*log7 (корень 3 степени 49); в)log1/3(9)*log2(корень 3 степени 2/8):7^2log7(2); г)log6(1/6 корень 216)*log0,3(1/0,09)*lg(10 корень 0,1).

1. а)

   $$\log_{\frac12}16\cdot \log_5\sqrt[3]{\frac{5}{25}}:3^{\log_3 2}$$
   $$\log_{\frac12}16=\log_{2^{-1}}2^4=-4,$$
   $$\log_5\sqrt[3]{\frac{5}{25}}=\log_5\sqrt[3]{5^{-1}}=\log_5 5^{-1/3}=-\frac13,$$
   $$3^{\log_3 2}=2.$$
   Тогда
   $$-4\cdot\left(-\frac13\right):2=\frac{4}{3}:2=\frac{2}{3}.$$

2. б)

   $$\log_3 27:\log_{\frac12}4\cdot \log_7\sqrt[3]{49}$$
   $$\log_3 27=3,\qquad \log_{\frac12}4=\log_{2^{-1}}2^2=-2,$$
   $$\log_7\sqrt[3]{49}=\log_7 7^{2/3}=\frac23.$$
   Тогда
   $$3:(-2)\cdot \frac23=-1.$$

3. в)

   $$\log_{\frac13}9\cdot \log_2\frac{\sqrt[3]{2}}{8}:7^{2\log_7 2}$$
   $$\log_{\frac13}9=\log_{3^{-1}}3^2=-2,$$
   $$\log_2\frac{\sqrt[3]{2}}{8}=\log_2\frac{2^{1/3}}{2^3}=\log_2 2^{-8/3}=-\frac83,$$
   $$7^{2\log_7 2}=\left(7^{\log_7 2}\right)^2=2^2=4.$$
   Тогда
   $$-2\cdot\left(-\frac83\right):4=\frac{16}{3}:4=\frac43.$$

4. г)

   $$\log_6\left(\frac{1}{6\sqrt{216}}\right)\cdot \log_{0,3}\frac{1}{0,09}\cdot \lg\left(10\sqrt{0,1}\right)$$
   $$\sqrt{216}=6\sqrt6,\qquad \frac{1}{6\sqrt{216}}=\frac{1}{36\sqrt6}=6^{-5/2},$$
   значит
   $$\log_6\left(\frac{1}{6\sqrt{216}}\right)=-\frac52.$$
   Далее
   $$0,3=3^{-1}\cdot 10^{-1},\qquad \frac{1}{0,09}=\frac{1}{9\cdot 10^{-2}}=100/9,$$
   и удобнее записать
   $$\log_{0,3}\frac{1}{0,09}=\log_{0,3}(0,3^{-2})=-2.$$
   Также
   $$\lg\left(10\sqrt{0,1}\right)=\lg\left(10\cdot 10^{-1/2}\right)=\lg 10^{1/2}=\frac12.$$
   Тогда
   $$-\frac52\cdot(-2)\cdot \frac12=\frac52.$$

Ответ

а) $$\frac23$$; б) $$-1$$; в) $$\frac43$$; г) $$\frac52$$.