Упр.16.66 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Найдите координаты центра симметрии графика функции y=x+lg (x2+2x)/(x2+10x+24).

Подробный ответ

Рассмотрим функцию

$$y=x+\lg \frac{x^2+2x}{x^2+10x+24}.$$

Найдём область определения:

$$\frac{x^2+2x}{x^2+10x+24}>0.$$

Разложим на множители:

$$\frac{x(x+2)}{(x+6)(x+4)}>0.$$

Критические точки: $$x=-6,\,-4,\,-2,\,0.$$

По знакам получаем:

$$D(f)=(-\infty;-6)\cup(-4;-2)\cup(0;+\infty).$$

Если график имеет центр симметрии, то из симметрии области определения относительно прямой $$x=-3$$ следует, что абсцисса центра равна $$x_0=-3.$$

Найдём ординату точки при $$x=-3$$:

$$y_0=f(-3)=-3+\lg \frac{(-3)^2+2(-3)}{(-3)^2+10(-3)+24}=-3+\lg \frac{3}{3}=-3+\lg 1=-3.$$

Проверим симметрию относительно точки $$(-3;-3)$$:

$$ \begin{aligned} f(-3-t)+f(-3+t) &=(-3-t)+\lg \frac{(-3-t)^2+2(-3-t)}{(-3-t)^2+10(-3-t)+24} \\ &\quad +(-3+t)+\lg \frac{(-3+t)^2+2(-3+t)}{(-3+t)^2+10(-3+t)+24} \\ &=-6+\lg \frac{t^2+4t+3}{t^2-4t+3}+\lg \frac{t^2-4t+3}{t^2+4t+3} \\ &=-6. \end{aligned} $$

Так как $$2f(-3)=2\cdot(-3)=-6,$$ то выполняется условие

$$f(-3-t)+f(-3+t)=2f(-3).$$

Значит, точка $$(-3;-3)$$ является центром симметрии графика функции.