Упр.16.65 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Докажите тождество: а) log bk (ak) =(log b(a) + log b(k)/(1+log b(k)); б)1/log a(k) + log a2 (k) + 1/log a3(k) + log a4(k) + log a5(k)= 15log k(a).

а) Используем формулу перехода к новому основанию:

$$\log_{bk}(ak)=\frac{\log_b(ak)}{\log_b(bk)}.$$

По свойству логарифмов

$$\log_b(ak)=\log_b a+\log_b k,\qquad \log_b(bk)=1+\log_b k.$$

Тогда

$$\log_{bk}(ak)=\frac{\log_b a+\log_b k}{1+\log_b k}.$$

Что и требовалось доказать.

б) Преобразуем каждое слагаемое:

$$\frac{1}{\log_a k}+\frac{1}{\log_{a^2} k}+\frac{1}{\log_{a^3} k}+\frac{1}{\log_{a^4} k}+\frac{1}{\log_{a^5} k}.$$

Так как

$$\log_{a^n} k=\frac{\log_a k}{\log_a a^n}=\frac{\log_a k}{n},$$

то

$$\frac{1}{\log_{a^n} k}=\frac{n}{\log_a k}.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{\log_a k}+\frac{1}{\log_{a^2} k}+\frac{1}{\log_{a^3} k}+\frac{1}{\log_{a^4} k}+\frac{1}{\log_{a^5} k}$$

$$=\frac{1+2+3+4+5}{\log_a k}=\frac{15}{\log_a k}=15\log_k a.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

а) $$\log_{bk}(ak)=\frac{\log_b a+\log_b k}{1+\log_b k}$$;

б) $$\frac{1}{\log_a k}+\frac{1}{\log_{a^2} k}+\frac{1}{\log_{a^3} k}+\frac{1}{\log_{a^4} k}+\frac{1}{\log_{a^5} k}=15\log_k a.$$