Упр.16.64 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Докажите тождество: а) b loga (с) = c log a(b) если a, b, с — положительные числа, отличные от 1; б) (m^k )log p (q) =q log p (m^k), если m, р, q, k — положительные числа, отличные от 1.

Используем свойство логарифма: если $$x>0,$$ $$a>0,$$ $$a\ne 1,$$ то $$x^{\log_a y}=y^{\log_a x}.$$

а)

$$ b^{\log_a c} = \left(b^{\log_a c}\right)^{\frac{1}{\log_a b}} = c^{\frac{\log_a b}{\log_a b}} = c^{\log_a b}. $$

Значит, $$b^{\log_a c}=c^{\log_a b}.$$

б)

$$ (m^k)^{\log_p q} = m^{k\log_p q} = \left(m^{\log_p q}\right)^k = \left(q^{\log_p m}\right)^k = q^{k\log_p m} = q^{\log_p m^k}. $$

Следовательно, $$\left(m^k\right)^{\log_p q}=q^{\log_p m^k}.$$

Ответ

а) $$b^{\log_a c}=c^{\log_a b}$$; б) $$\left(m^k\right)^{\log_p q}=q^{\log_p m^k}.$$