Упр.16.62 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. а)

   $$\begin{aligned} (\log_a b+\log_b a+2)(\log_a b-\log_{ab} b)\log_b a-1 &=\left(\log_a b+\frac{1}{\log_a b}+2\right)\left(\log_a b-\frac{\log_a b}{\log_a a+\log_a b}\right)\cdot\frac{1}{\log_a b}-1 \\ &=\left(\log_a b+\frac{1}{\log_a b}+2\right)\left(\log_a b-\frac{\log_a b}{1+\log_a b}\right)\cdot\frac{1}{\log_a b}-1. \end{aligned}$$

   Приведём к общему виду:
   $$\begin{aligned} &=\frac{(\log_a b+1)^2}{\log_a b}\cdot\frac{\log_a b}{1+\log_a b}-1 \\ &=\log_a b-1. \end{aligned}$$

2. б)

   $$\begin{aligned} \frac{1-\log_a^3 b}{(\log_b a+\log_b a+1)\log_a \frac{b}{a}} &=\frac{(1-\log_a b)(1+\log_a b+\log_a^2 b)}{\left(\frac{1}{\log_a b}+\log_b a+1\right)\log_a \frac{b}{a}}. \end{aligned}$$

   Используем тождества $$\log_b a=\frac{1}{\log_a b}$$ и $$\log_a \frac{b}{a}=\log_a b-1$$:
   $$\begin{aligned} &=\frac{(1-\log_a b)(1+\log_a b+\log_a^2 b)}{\left(\frac{1}{\log_a b}+\frac{1}{\log_a b}+1\right)(\log_a b-1)} \\ &=\log_a b. \end{aligned}$$

Ответ

а) $$\log_a b-1$$; б) $$\log_a b$$.