Упр.16.61 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: а) Найдите log2(360), если известно, что log3(20) = а, log3(15) = b. б) Найдите log275(60), если известно, что log12(5) = а, log12(11) = b.

а) Пусть $$\log_3 20=a,$$ $$\log_3 15=b.$$

Из второго равенства:

$$ \log_3 15=\log_3(3\cdot 5)=\log_3 3+\log_3 5, $$

откуда

$$ b=1+\log_3 5,\qquad \log_3 5=b-1. $$

Из первого равенства:

$$ \log_3 20=\log_3(4\cdot 5)=\log_3 4+\log_3 5, $$

значит

$$ a=\log_3 4+b-1, $$

$$ \log_3 4=a-b+1. $$

Так как $$\log_3 4=\log_3 2^2=2\log_3 2,$$ то

$$ \log_3 2=\frac{a-b+1}{2}. $$

Теперь найдём:

$$ \log_2 360=\frac{\log_3 360}{\log_3 2}. $$

Разложим число $$360$$ на множители:

$$ 360=2^3\cdot 3^2\cdot 5. $$

Тогда

$$ \log_3 360=\log_3(2^3\cdot 3^2\cdot 5)=3\log_3 2+2+\log_3 5. $$

Подставим найденные выражения:

$$ \log_3 360=3\cdot \frac{a-b+1}{2}+2+(b-1)=\frac{3a-b+5}{2}. $$

Следовательно,

$$ \log_2 360=\frac{\frac{3a-b+5}{2}}{\frac{a-b+1}{2}}=\frac{3a-b+5}{a-b+1}. $$

б) Пусть $$\log_{12} 5=a,$$ $$\log_{12} 11=b.$$

Из первого равенства:

$$ \log_{12} 5=\log_{12}\frac{60}{12}=\log_{12} 60-\log_{12} 12, $$

то есть

$$ a=\log_{12} 60-1,\qquad \log_{12} 60=a+1. $$

Теперь

$$ \log_{275} 60=\frac{\log_{12} 60}{\log_{12} 275}. $$

Разложим $$275$$:

$$ 275=25\cdot 11=5^2\cdot 11. $$

Тогда

$$ \log_{12} 275=\log_{12}(5^2\cdot 11)=2\log_{12} 5+\log_{12} 11=2a+b. $$

Следовательно,

$$ \log_{275} 60=\frac{a+1}{2a+b}. $$

Ответ

а) $$\frac{3a-b+5}{a-b+1}$$; б) $$\frac{a+1}{2a+b}$$.