Упр.16.57 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Известно, что lg 2 = a, lg 3 = b. Найдите: a) log4(12); б) log6(18); B)log0,5(3); г) log1/3(24).

Пусть $$\lg 2=a,\quad \lg 3=b.$$ Тогда используем свойства логарифмов.

1. $$\log_4 12=\frac{\lg 12}{\lg 4}=\frac{\lg(4\cdot 3)}{\lg 4}=\frac{\lg 4+\lg 3}{\lg 4}.$$

   Так как $$\lg 4=\lg 2^2=2\lg 2=2a,$$ то

   $$\log_4 12=\frac{2a+b}{2a}=1+\frac{b}{2a}.$$

2. $$\log_6 18=\frac{\lg 18}{\lg 6}=\frac{\lg(6\cdot 3)}{\lg 6}=\frac{\lg 6+\lg 3}{\lg 6}.$$

   Причём

   $$\lg 6=\lg(2\cdot 3)=\lg 2+\lg 3=a+b.$$

   Тогда

   $$\log_6 18=\frac{a+b+b}{a+b}=\frac{a+2b}{a+b}.$$

3. $$\log_{0,5} 3=\frac{\lg 3}{\lg 0,5}=\frac{b}{\lg(2^{-1})}=\frac{b}{-\lg 2}=-\frac{b}{a}.$$

4. $$\log_{1/3} 24=\frac{\lg 24}{\lg(1/3)}.$$

   Так как $$24=8\cdot 3,$$ то

   $$\lg 24=\lg(8\cdot 3)=\lg 8+\lg 3=3\lg 2+\lg 3=3a+b.$$

   А также

   $$\lg(1/3)=\lg(3^{-1})=-\lg 3=-b.$$

   Следовательно,

   $$\log_{1/3} 24=\frac{3a+b}{-b}=-\frac{3a+b}{b}.$$

Ответ

а) $$1+\frac{b}{2a}$$; б) $$\frac{a+2b}{a+b}$$; в) $$-\frac{b}{a}$$; г) $$-\frac{3a+b}{b}$$.