Упр.16.56 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Известно, что log2(3) = а. Найдите: a) log4(9); б) log8(18); в) log4(81); г) log8(54).

Пусть $$\log_2 3=a.$$ Тогда используем свойства логарифмов:

$$\log_{2^k} x=\frac{1}{k}\log_2 x,$$
$$\log_2 x^n=n\log_2 x,$$
$$\log_2(xy)=\log_2 x+\log_2 y.$$

1. $$\log_4 9=\log_{2^2}3^2=\frac{1}{2}\cdot 2\log_2 3=\log_2 3=a.$$

2. $$\log_8 18=\log_{2^3}(2\cdot 9)=\frac{1}{3}\bigl(\log_2 2+\log_2 9\bigr).$$
   Тогда
   $$\log_8 18=\frac{1}{3}\bigl(1+\log_2 3^2\bigr)=\frac{1}{3}(1+2\log_2 3)=\frac{1+2a}{3}.$$

3. $$\log_4 81=\log_{2^2}3^4=\frac{1}{2}\cdot 4\log_2 3=2a.$$

4. $$\log_8 54=\log_{2^3}(2\cdot 27)=\frac{1}{3}\bigl(\log_2 2+\log_2 27\bigr).$$
   Тогда
   $$\log_8 54=\frac{1}{3}\bigl(1+\log_2 3^3\bigr)=\frac{1}{3}(1+3\log_2 3)=\frac{1+3a}{3}.$$

Ответ

а) $$a$$; б) $$\frac{1+2a}{3}$$; в) $$2a$$; г) $$\frac{1+3a}{3}$$.