Упр.16.52 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: a) log2(6) и log4(5); в) log9(6) и log3(7); 6) log1/2(3) и log1/4(1,5) r) log1/3(4) и log1/9(7).
а) $$\log_2 6 \text{ и } \log_4 5$$
Так как основание $$2>1$$, сравним числа $$6$$ и $$4$$: $$6>4$$, значит
$$\log_2 6 > \log_2 4 = 2.$$
А так как $$4>1$$, то
$$\log_4 5 < \log_4 16 = 2.$$
Следовательно, $$\log_2 6 > \log_4 5.$$
б) $$\log_{\frac12} 3 \text{ и } \log_{\frac14} 1{,}5$$
Преобразуем основания:
$$\log_{\frac12} 3 = \log_{\frac12} 3,$$
$$\log_{\frac14} 1{,}5 = \frac12 \log_{\frac12} 1{,}5.$$
Сравним числа $$3$$ и $$\sqrt{1{,}5}$$:
$$3>\sqrt{1{,}5}.$$
Так как основание $$\frac12<1$$, при большем аргументе логарифм меньше. Значит,
$$\log_{\frac12} 3 < \log_{\frac14} 1{,}5.$$
в) $$\log_9 6 \text{ и } \log_3 7$$
Представим $$\log_9 6$$ через основание $$3$$:
$$\log_9 6 = \frac12 \log_3 6.$$
Сравним $$\log_3 6$$ и $$\log_3 7$$: так как $$6<7$$ и $$3>1$$, то
$$\log_3 6 < \log_3 7.$$
Кроме того, $$\frac12 \log_3 6 < \log_3 6$$, значит
$$\log_9 6 < \log_3 7.$$
г) $$\log_{\frac13} 4 \text{ и } \log_{\frac19} 7$$
Преобразуем:
$$\log_{\frac13} 4 = \log_{\frac13} 4,$$
$$\log_{\frac19} 7 = \frac12 \log_{\frac13} 7.$$
Сравним $$4$$ и $$\sqrt7$$:
$$4>\sqrt7.$$
Так как основание $$\frac13<1$$, большему аргументу соответствует меньший логарифм. Следовательно,
$$\log_{\frac13} 4 < \log_{\frac19} 7.$$
Ответ
а) $$\log_2 6 > \log_4 5$$; б) $$\log_{\frac12} 3 < \log_{\frac14} 1{,}5$$; в) $$\log_9 6 < \log_3 7$$; г) $$\log_{\frac13} 4 < \log_{\frac19} 7$$.
