Упр.16.51 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Сравните числа: a) log2(7) и log7(4); в) log3(5) и log5(4); 6) log6(9) и log9(8); r) log11(14) и log14(13).

Используем свойство логарифма: если $$a>1,$$ то при $$1<x<a$$ имеем $$0<\log_a x<1,$$ а при $$a<x<a^2$$ — $$1<\log_a x<2.$$

1. $$2<7<2^2=4^?$$

   Здесь удобнее сравнить отдельно:

   $$\log_2 7>1,$$ так как $$7>2,$$

   $$\log_7 4<1,$$ так как $$4<7.$$

   Следовательно, $$\log_2 7>\log_7 4.$$

2. $$3<5<3^2=9,$$ значит $$1<\log_3 5<2.$$

   А так как $$4<5,$$ то $$0<\log_5 4<1.$$

   Следовательно, $$\log_3 5>\log_5 4.$$

3. $$6<9<6^2=36,$$ значит $$1<\log_6 9<2.$$

   А так как $$8<9,$$ то $$0<\log_9 8<1.$$

   Следовательно, $$\log_6 9>\log_9 8.$$

4. $$11<14<11^2=121,$$ значит $$1<\log_{11} 14<2.$$

   А так как $$13<14,$$ то $$0<\log_{14} 13<1.$$

   Следовательно, $$\log_{11} 14>\log_{14} 13.$$

Ответ

$$\log_2 7>\log_7 4,\quad \log_3 5>\log_5 4,\quad \log_6 9>\log_9 8,\quad \log_{11} 14>\log_{14} 13.$$