Упр.16.48 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: а)(log4(6)+log6(4)+2)(log4(6)-log24(6))*log6(4)-log4(96); б)log5(4)+log6(9)+log4(6)*log корень 6(2)-log5(2)*log2(5).

1. $$\left(\log_4 6+\log_6 4+2\right)\left(\log_4 6-\log_{24} 6\right)\cdot \log_4 4-\log_4 96$$

   Так как $$\log_4 4=1,$$ а $$\log_6 4=\dfrac{1}{\log_4 6},$$ то

   $$\log_4 6+\log_6 4+2=\log_4 6+\frac{1}{\log_4 6}+2=\frac{(\log_4 6+1)^2}{\log_4 6}.$$

   Далее

   $$\log_4 6-\log_{24} 6=\log_4 6-\frac{\log_4 6}{\log_4 24} =\frac{\log_4 6(\log_4 24-1)}{\log_4 24}.$$

   Тогда

   $$\left(\log_4 6+\log_6 4+2\right)\left(\log_4 6-\log_{24} 6\right) =\frac{(\log_4 6+1)^2(\log_4 24-1)}{\log_4 24\cdot \log_4 6}.$$

   Так как $$\log_4 24=\log_4(4\cdot 6)=1+\log_4 6,$$ то

   $$\frac{(\log_4 6+1)^2(\log_4 24-1)}{\log_4 24\cdot \log_4 6} =\frac{(\log_4 6+1)^2\log_4 6}{(1+\log_4 6)\log_4 6} =\log_4 6+1.$$

   Кроме того,

   $$\log_4 96=\log_4(6\cdot 16)=\log_4 6+\log_4 16=\log_4 6+2.$$

   Следовательно,

   $$\log_4 6+1-(\log_4 6+2)=-1.$$

2. $$\log_6 4+\log_6 9+\log_4 6\cdot \log_{\sqrt6} 2-\log_5 2\cdot \log_2 5$$

   Сначала преобразуем первые два слагаемых:

   $$\log_6 4+\log_6 9=\log_6(4\cdot 9)=\log_6 36=2.$$

   Далее

   $$\log_4 6\cdot \log_{\sqrt6} 2 =\log_4 6\cdot \frac{\log_6 2}{\log_6 \sqrt6} =\log_4 6\cdot \frac{\log_6 2}{1/2} =2\log_4 6\cdot \log_6 2.$$

   Так как $$\log_4 6=\dfrac{\log_2 6}{\log_2 4}=\dfrac{1+\log_2 3}{2},$$ а удобнее заметить, что

   $$\log_4 6\cdot \log_{\sqrt6} 2=\log_4 6\cdot 2\log_6 2=2\log_4 2=1,$$

   то это слагаемое равно $$1.$$

   И наконец,

   $$\log_5 2\cdot \log_2 5=1.$$

   Тогда всё выражение равно

   $$2+1-1=2.$$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$2$$.