Упр.16.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: a) 3 log5(4)* log6(5)* log7(6) * log8(7); 6) log2(10) * log3(2) * log4(3) * log5(4) * … * log1000(999).

а)

$$ 3\log_5 4\cdot \log_6 5\cdot \log_7 6\cdot \log_8 7 $$

Используем формулу перехода к новому основанию:

$$ \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a} $$

$$ 3\cdot \frac{\log_5 4}{\log_5 6}\cdot \frac{\log_6 5}{\log_6 7}\cdot \frac{\log_7 6}{\log_7 8} $$

Сокращаем:

$$ 3\cdot \frac{\log_5 4}{\log_5 8}=3\log_8 4 $$

$$ 3\log_8 4=3\log_{2^3}2^2=3\cdot \frac{2}{3}=2 $$

б)

$$ \log_2 10\cdot \log_3 2\cdot \log_4 3\cdot \log_5 4\cdot \ldots \cdot \log_{1000}999 $$

Переходим к десятичным логарифмам:

$$ \frac{\lg 10}{\lg 2}\cdot \frac{\lg 2}{\lg 3}\cdot \frac{\lg 3}{\lg 4}\cdot \frac{\lg 4}{\lg 5}\cdot \ldots \cdot \frac{\lg 999}{\lg 1000} $$

Все промежуточные множители сокращаются:

$$ \frac{\lg 10}{\lg 1000}=\frac{1}{3} $$

Ответ

а) $$2$$; б) $$\frac{1}{3}$$.