Упр.16.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Вычислите: a) 16(log9(45) — 1) * log11(9) * log5(121); 6) log15(3) * log5(3) * log корень 3(5) * (1 + log3 (5)).

а) Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов:

$$ 16(\log_9 45-1)\cdot \log_{11} 9 \cdot \log_5 121 =16(\log_9 45-\log_9 9)\cdot \log_{11} 9 \cdot \log_5 121 $$
$$ =16\log_9 \frac{45}{9}\cdot \log_{11} 9 \cdot \log_5 121 =16\log_9 5\cdot \log_{11} 9 \cdot \log_5 121 $$
$$ =16\cdot \frac{\log_5 5}{\log_5 9}\cdot \frac{\log_9 9}{\log_9 11}\cdot \log_5 121 =16\cdot \log_{11} 121 =16\cdot 2=32. $$

б) Упростим выражение:

$$ \log_{15} 3\cdot \log_5 3\cdot \log_{\sqrt{3}} 5\cdot (1+\log_3 5) $$
$$ = \log_{15} 3\cdot \log_5 3\cdot \log_{\sqrt{3}} 5\cdot (\log_3 3+\log_3 5) $$
$$ = \log_{15} 3\cdot \log_5 3\cdot \log_{\sqrt{3}} 5\cdot \log_3 15. $$

Так как $$\log_{15} 3\cdot \log_3 15=1,$$ то

$$ \log_5 3\cdot \log_{\sqrt{3}} 5 = \log_5 3\cdot \frac{\log_3 5}{\log_3 \sqrt{3}} = \log_5 3\cdot \frac{\log_3 5}{1/2} =2\log_5 3\cdot \log_3 5. $$

А поскольку $$\log_5 3\cdot \log_3 5=1,$$ получаем:

$$ 2\cdot 1=2. $$

Ответ

а) $$32$$; б) $$2$$.