Упр.16.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: a) 5 log2(9) * log3(64) + 3log6(8)*2log6(8); 6) 2^(4log2(3)-1) + log9(3) + log3(64) * log4(3).

Подробный ответ

а) Преобразуем выражение:

$$5\log_2 9 \cdot \log_3 64 + 3^{\log_6 8}\cdot 2^{\log_6 8}$$
$$=5\cdot \frac{\log_3 9}{\log_3 2}\cdot \log_3 64 + (3\cdot 2)^{\log_6 8}$$
$$=5\cdot \frac{2}{\log_3 2}\cdot \log_3 64 + 6^{\log_6 8}$$
$$=10\log_2 64 + 8$$
$$=10\cdot 6+8=68.$$

б) Преобразуем выражение:

$$2^{4\log_2 3-1}+\log_9 3+\log_3 64\cdot \log_4 3$$
$$=\frac{(2^{\log_2 3})^4}{2}+\frac{1}{2}+\frac{\log_3 64}{\log_4 3}$$
$$=\frac{3^4}{2}+\frac{1}{2}+\log_3 64\cdot \log_3 4$$
$$=\frac{81}{2}+\frac{1}{2}+6\cdot \frac{1}{2}\log_3 4$$
$$=40{,}5+0{,}5+3\log_3 4$$
$$=41+3\log_3 4.$$

Так как $$\log_3 4=\log_3 2^2=2\log_3 2,$$ то

$$41+3\log_3 4=41+6\log_3 2.$$

Используем более удобное преобразование:

$$\log_3 64=\log_3 2^6=6\log_3 2,$$
$$\log_4 3=\frac{1}{\log_3 4}=\frac{1}{2\log_3 2},$$
поэтому
$$\log_3 64\cdot \log_4 3=6\log_3 2\cdot \frac{1}{2\log_3 2}=3.$$

Тогда

$$2^{4\log_2 3-1}+\log_9 3+\log_3 64\cdot \log_4 3 =\frac{3^4}{2}+\frac{1}{2}+3 =40{,}5+0{,}5+3=44.$$