Упр.16.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: a) 9log3(4) log корень 6(3) * log3(36); б) log3(8) * log2(27) — 3log9(25); в) 3^(4log3(2)) + log5(корень 2) * log4(25); г) 10^(0,5log(16)) + 14log3(корень 2) * log4(81).

1. $$9^{\log_3 4}+\log_{\sqrt6}3\cdot \log_3 36$$

   $$9^{\log_3 4}=(3^2)^{\log_3 4}=3^{2\log_3 4}=\left(3^{\log_3 4}\right)^2=4^2=16.$$

   $$\log_{\sqrt6}3\cdot \log_3 36=\frac{\log_3 36}{\log_3 \sqrt6}=\log_{\sqrt6}36.$$

   Так как $$36=(\sqrt6)^4,$$ то

   $$\log_{\sqrt6}36=4.$$

   Следовательно,

   $$16+4=20.$$

2. $$\log_3 8\cdot \log_2 27-3^{\log_9 25}$$

   $$\log_3 8\cdot \log_2 27=\frac{\log_2 8}{\log_2 3}\cdot \log_2 27=3\cdot \frac{\log_2 27}{\log_2 3}=3\log_3 27=3\cdot 3=9.$$

   $$3^{\log_9 25}=3^{\frac12\log_3 25}=\sqrt{3^{\log_3 25}}=\sqrt{25}=5.$$

   Тогда

   $$9-5=4.$$

3. $$3^{4\log_3 2}+\log_5 \sqrt2\cdot \log_4 25$$

   $$3^{4\log_3 2}=\left(3^{\log_3 2}\right)^4=2^4=16.$$

   $$\log_5 \sqrt2\cdot \log_4 25=\frac{\log_4 \sqrt2}{\log_4 5}\cdot \log_4 25.$$

   Так как $$\log_4 \sqrt2=\frac14,\qquad \log_4 25=2\log_4 5,$$ то

   $$\log_5 \sqrt2\cdot \log_4 25=\frac14\cdot \frac{2\log_4 5}{\log_4 5}=\frac12.$$

   Следовательно,

   $$16+\frac12=16{,}5.$$

4. $$10^{0{,}5\log 16}+14\log_3 \sqrt2\cdot \log_4 81$$

   $$10^{0{,}5\log 16}=10^{\log \sqrt{16}}=\sqrt{16}=4.$$

   $$14\log_3 \sqrt2\cdot \log_4 81=14\cdot \frac{\log_4 \sqrt2}{\log_4 3}\cdot \log_4 81.$$

   Так как $$\log_4 \sqrt2=\frac14,\qquad \log_4 81=\log_4 3^4=4\log_4 3,$$ то

   $$14\cdot \frac14\cdot \frac{4\log_4 3}{\log_4 3}=14.$$

   Тогда

   $$4+14=18.$$

Ответ

а) $$20$$; б) $$4$$; в) $$16{,}5$$; г) $$18$$.