Упр.16.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Докажите, что при заданных условиях выполняется требуемое равенство: а) lg (a+b)/3 = 1/2 (lga + lgb), если a2 + b2 = 7ab; б) lg =(a+2b)/4=1/2(lga + lgb), если a2 + 4b2 = 12ab.

а) Рассмотрим левую часть:

$$\lg \frac{a+b}{3}=\frac12\bigl(\lg a+\lg b\bigr)=\frac12\lg(ab).$$

Тогда

$$\lg \frac{a+b}{3}=\lg \sqrt{ab}.$$

Следовательно,

$$\frac{a+b}{3}=\sqrt{ab}.$$

Возведём в квадрат:

$$\frac{(a+b)^2}{9}=ab.$$

$$a^2+2ab+b^2=9ab.$$

$$a^2+b^2=7ab.$$

Это и дано, значит, равенство доказано.

б) Аналогично:

$$\lg \frac{a+2b}{4}=\frac12\bigl(\lg a+\lg b\bigr)=\frac12\lg(ab).$$

Тогда

$$\lg \frac{a+2b}{4}=\lg \sqrt{ab},$$

откуда

$$\frac{a+2b}{4}=\sqrt{ab}.$$

Возведём в квадрат:

$$\frac{(a+2b)^2}{16}=ab.$$

$$a^2+4ab+4b^2=16ab.$$

$$a^2+4b^2=12ab.$$

Это и требовалось доказать.

Ответ

а) $$\lg \frac{a+b}{3}=\frac12(\lg a+\lg b)$$ при $$a^2+b^2=7ab$$; б) $$\lg \frac{a+2b}{4}=\frac12(\lg a+\lg b)$$ при $$a^2+4b^2=12ab$$.