Упр.16.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Найдите число х по данному его логарифму: a) log2(x) = log2(72) — log2(9); б) log корень 7(x) = 2 log корень 7(4) — log корень 7(2) + log корень 7(5); в) lg x = lg1/8 + lg1/125; г) log 1/3(x) = log1/3(7/9) + log 1/3(21) -2 log1/3(7).

1. $$\log_2 x=\log_2 72-\log_2 9=\log_2 \frac{72}{9}=\log_2 8.$$

   Тогда $$x=8.$$

2. $$\log_{\sqrt7} x=2\log_{\sqrt7} 4-\log_{\sqrt7} 2+\log_{\sqrt7} 5.$$

   Преобразуем правую часть:

   $$2\log_{\sqrt7} 4=\log_{\sqrt7} 4^2=\log_{\sqrt7} 16,$$

   значит

   $$\log_{\sqrt7} x=\log_{\sqrt7} 16-\log_{\sqrt7} 2+\log_{\sqrt7} 5=\log_{\sqrt7}\frac{16\cdot 5}{2}=\log_{\sqrt7} 40.$$

   Следовательно, $$x=40.$$

3. $$\lg x=\lg \frac18+\lg \frac1{125}=\lg\left(\frac18\cdot \frac1{125}\right)=\lg \frac1{1000}=\lg 0{,}001.$$

   Значит, $$x=0{,}001.$$

4. $$\log_{\frac13} x=\log_{\frac13}\frac79+\log_{\frac13}21-2\log_{\frac13}7.$$

   Преобразуем:

   $$2\log_{\frac13}7=\log_{\frac13}7^2=\log_{\frac13}49,$$

   тогда

   $$\log_{\frac13} x=\log_{\frac13}\frac79+\log_{\frac13}21-\log_{\frac13}49=\log_{\frac13}\left(\frac79\cdot 21\cdot \frac1{49}\right).$$

   Упростим дробь:

   $$\frac79\cdot 21\cdot \frac1{49}=\frac13.$$

   Следовательно, $$x=\frac13.$$

Ответ

а) $$8$$; б) $$40$$; в) $$0{,}001$$; г) $$\frac13$$.