Упр.16.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Известно, что log1/2(7) = с и log1/2(3) = а. Выразите через с и а: а) log1/2(21); б) log1/2(1/42); в) log1/2(147);г) log1/2(49/корень 3).

Используем свойства логарифмов:

$$\log_{\frac12}(xy)=\log_{\frac12}x+\log_{\frac12}y,$$
$$\log_{\frac12}\frac{x}{y}=\log_{\frac12}x-\log_{\frac12}y,$$
$$\log_{\frac12}(x^n)=n\log_{\frac12}x.$$

1. $$\log_{\frac12}21=\log_{\frac12}(7\cdot 3)=\log_{\frac12}7+\log_{\frac12}3=c+a.$$

2. $$\log_{\frac12}\frac{1}{42}=\log_{\frac12}\frac{1}{2\cdot 3\cdot 7}=\log_{\frac12}1-\log_{\frac12}2-\log_{\frac12}3-\log_{\frac12}7.$$

   Так как $$\log_{\frac12}1=0$$ и $$\log_{\frac12}2=-1,$$ получаем:
   $$\log_{\frac12}\frac{1}{42}=0-(-1)-a-c=1-a-c.$$

3. $$\log_{\frac12}147=\log_{\frac12}(49\cdot 3)=\log_{\frac12}(7^2)+\log_{\frac12}3=2\log_{\frac12}7+a=2c+a.$$

4. $$\log_{\frac12}\frac{49}{\sqrt{3}}=\log_{\frac12}49-\log_{\frac12}\sqrt{3}=\log_{\frac12}(7^2)-\log_{\frac12}(3^{1/2}).$$

   Тогда
   $$\log_{\frac12}\frac{49}{\sqrt{3}}=2\log_{\frac12}7-\frac12\log_{\frac12}3=2c-\frac12 a.$$

Ответ

а) $$c+a$$; б) $$1-a-c$$; в) $$2c+a$$; г) $$2c-\frac12 a$$.