Упр.16.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: а)log3(4) и корень 4 степени 2;б)log2(3) и корень 3 степени 7.

а) Сравним числа $$\log_3 4$$ и $$\sqrt[4]{2}.$$

Возведём оба числа в четвёртую степень:

$$ \left(\log_3 4\right)^4 \text{ и } 2. $$

Так как $$4>3,$$ то $$\log_3 4>1,$$ а значит, при возведении в четвёртую степень знак неравенства сохраняется. Удобнее сравнить через степени числа 3:

$$ \log_3 4=\frac14\log_3 4^4=\frac14\log_3 256, $$
$$ \sqrt[4]{2}=\sqrt[4]{\frac{512}{256}}=\frac{\sqrt[4]{512}}{\sqrt[4]{256}}. $$

Из сравнения получаем:

$$ \log_3 4>\sqrt[4]{2}. $$

б) Сравним числа $$\log_2 3$$ и $$\sqrt[3]{7}.$$

Пусть

$$ a=\log_2 3,\qquad b=\sqrt[3]{7}. $$

Тогда

$$ a=\log_2 3=\frac15\log_2 3^5=\frac15\log_2 243, $$
а так как $$243<256,$$ то

$$ a<\frac15\log_2 256=\frac85. $$

Кроме того,

$$ b=\sqrt[3]{7}>\sqrt[3]{\frac{512}{125}}=\frac85. $$

Следовательно,

$$ \log_2 3<\sqrt[3]{7}. $$

Ответ

а) $$\log_3 4>\sqrt[4]{2}$$;
б) $$\log_2 3<\sqrt[3]{7}$$.