Упр.16.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$\log_3\!\left(2\tg\frac{\pi}{8}\right)-\log_3\!\left(1-\tg^2\frac{\pi}{8}\right)=\log_3\!\left(\frac{2\tg\frac{\pi}{8}}{1-\tg^2\frac{\pi}{8}}\right).$$

   По формуле двойного угла для тангенса:

   $$\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}=\tg 2x,$$

   поэтому

   $$\log_3\!\left(\frac{2\tg\frac{\pi}{8}}{1-\tg^2\frac{\pi}{8}}\right)=\log_3\!\left(\tg\frac{\pi}{4}\right)=\log_3 1=0.$$

2. $$\log_{\sqrt3}\!\left(\tg\frac{\pi}{19}\right)+\log_{\sqrt3}\!\left(\ctg\frac{\pi}{19}\right)=\log_{\sqrt3}\!\left(\tg\frac{\pi}{19}\cdot\ctg\frac{\pi}{19}\right).$$

   Так как $$\tg x\cdot \ctg x=1,$$ то

   $$\log_{\sqrt3}1=0.$$

3. $$\log_{\frac13}\!\left(2\tg\frac{\pi}{6}\right)+\log_{\frac13}\!\left(1-\tg^2\frac{\pi}{6}\right)^{-1}=\log_{\frac13}\!\left(\frac{2\tg\frac{\pi}{6}}{1-\tg^2\frac{\pi}{6}}\right).$$

   По формуле двойного угла:

   $$\frac{2\tg\frac{\pi}{6}}{1-\tg^2\frac{\pi}{6}}=\tg\frac{\pi}{3}=\sqrt3.$$

   Тогда

   $$\log_{\frac13}\sqrt3=\log_{\frac13}\left(\frac13\right)^{-\frac12}=-\frac12.$$

4. $$\log_{\frac12}\!\left(\tg\frac{\pi}{7}\right)+\log_{\frac12}\!\left(\tg\frac{5\pi}{14}\right)=\log_{\frac12}\!\left(\tg\frac{\pi}{7}\cdot\tg\frac{5\pi}{14}\right).$$

   Так как

   $$\tg\frac{5\pi}{14}=\tg\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{7}\right)=\ctg\frac{\pi}{7},$$

   то

   $$\log_{\frac12}\!\left(\tg\frac{\pi}{7}\cdot\ctg\frac{\pi}{7}\right)=\log_{\frac12}1=0.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$0$$; в) $$-\frac12$$; г) $$0$$.