Упр.16.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 16.16 а)(1/4)1+0,5log1/2(14); б)25(1-0,5log5(11)); в)(1/9)1+1/2log1/3(18); г)49(1-0,5log7(14).

1. а) $$\left(\frac14\right)^{1+0{,}5\log_{\frac12}14}=\left(\frac14\right)^1\cdot\left(\frac14\right)^{0{,}5\log_{\frac12}14}$$

   Так как $$\frac14=\left(\frac12\right)^2,$$ то

   $$\left(\frac14\right)^{0{,}5\log_{\frac12}14}=\left(\left(\frac12\right)^2\right)^{0{,}5\log_{\frac12}14}=\left(\frac12\right)^{\log_{\frac12}14}=14.$$

   Тогда

   $$\left(\frac14\right)^{1+0{,}5\log_{\frac12}14}=\frac14\cdot 14=3{,}5.$$

2. б) $$25^{1-0{,}5\log_5 11}=25^1\cdot 25^{-0{,}5\log_5 11}.$$

   Так как $$25=5^2,$$ то

   $$25^{-0{,}5\log_5 11}=\left(5^2\right)^{-0{,}5\log_5 11}=5^{-\log_5 11}=\frac{1}{11}.$$

   Следовательно,

   $$25^{1-0{,}5\log_5 11}=25\cdot \frac{1}{11}=\frac{25}{11}=2\frac{3}{11}.$$

3. в) $$\left(\frac19\right)^{1+\frac12\log_{\frac13}18}=\left(\frac19\right)^1\cdot\left(\frac19\right)^{\frac12\log_{\frac13}18}.$$

   Так как $$\frac19=\left(\frac13\right)^2,$$ то

   $$\left(\frac19\right)^{\frac12\log_{\frac13}18}=\left(\left(\frac13\right)^2\right)^{\frac12\log_{\frac13}18}=\left(\frac13\right)^{\log_{\frac13}18}=18.$$

   Тогда

   $$\left(\frac19\right)^{1+\frac12\log_{\frac13}18}=\frac19\cdot 18=2.$$

4. г) $$49^{1-0{,}5\log_7 14}=49^1\cdot 49^{-0{,}5\log_7 14}.$$

   Так как $$49=7^2,$$ то

   $$49^{-0{,}5\log_7 14}=\left(7^2\right)^{-0{,}5\log_7 14}=7^{-\log_7 14}=\frac{1}{14}.$$

   Следовательно,

   $$49^{1-0{,}5\log_7 14}=49\cdot \frac{1}{14}=3{,}5.$$

Ответ

а) $$3{,}5$$; б) $$\frac{25}{11}$$; в) $$2$$; г) $$3{,}5$$.