Упр.16.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Вычислите: 16.19 а)log корень 2(sin Пи/8)+log корень 2(2 cos Пи/8); б)log1/2(cos Пи/6 + sin Пи/6)+log1/2(cos Пи/6-sin Пи/6); в)log1/2(2 sin Пи/12)+log1/2(cos Пи/12); г)log корень 3/2(cos Пи/12 — sin Пи/12)+log корень 3/2(cos Пи/12+sin Пи/12).

1. $$\log_{\sqrt{2}}\left(\sin \frac{\pi}{8}\right)+\log_{\sqrt{2}}\left(2\cos \frac{\pi}{8}\right)=\log_{\sqrt{2}}\left(2\sin \frac{\pi}{8}\cos \frac{\pi}{8}\right).$$

   Так как $$2\sin \frac{\pi}{8}\cos \frac{\pi}{8}=\sin \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}},$$ то

   $$\log_{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\log_{\sqrt{2}}\left((\sqrt{2})^{-1}\right)=-1.$$

2. $$\log_{\frac12}\left(\cos \frac{\pi}{6}+\sin \frac{\pi}{6}\right)+\log_{\frac12}\left(\cos \frac{\pi}{6}-\sin \frac{\pi}{6}\right)$$

   $$=\log_{\frac12}\left(\left(\cos \frac{\pi}{6}+\sin \frac{\pi}{6}\right)\left(\cos \frac{\pi}{6}-\sin \frac{\pi}{6}\right)\right)$$

   $$=\log_{\frac12}\left(\cos^2 \frac{\pi}{6}-\sin^2 \frac{\pi}{6}\right)=\log_{\frac12}\left(\cos \frac{\pi}{3}\right)=\log_{\frac12}\left(\frac12\right)=1.$$

3. $$\log_{\frac12}\left(2\sin \frac{\pi}{12}\right)+\log_{\frac12}\left(\cos \frac{\pi}{12}\right)$$

   $$=\log_{\frac12}\left(2\sin \frac{\pi}{12}\cos \frac{\pi}{12}\right)=\log_{\frac12}\left(\sin \frac{\pi}{6}\right)=\log_{\frac12}\left(\frac12\right)=1.$$

4. $$\log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\cos \frac{\pi}{12}-\sin \frac{\pi}{12}\right)+\log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\cos \frac{\pi}{12}+\sin \frac{\pi}{12}\right)$$

   $$=\log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\left(\cos \frac{\pi}{12}-\sin \frac{\pi}{12}\right)\left(\cos \frac{\pi}{12}+\sin \frac{\pi}{12}\right)\right)$$

   $$=\log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\cos^2 \frac{\pi}{12}-\sin^2 \frac{\pi}{12}\right)=\log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\cos \frac{\pi}{6}\right)$$

   $$=\log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=1.$$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$1$$; в) $$1$$; г) $$1$$.