Упр.15.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 15.9. Найдите область определения функции: а) У = log8,1 (2(x2-5x+7) — 2);в) у = log0,6((2(x2-5x+7) — 2)/x); б)y=log2(log0,1(x)); г) У = log0,2 (log3 (х)).
а) $$y=\log_{8,1}(2x^2-5x+7-2)$$
Для существования логарифма нужно:
$$2x^2-5x+7-2>0$$
$$2x^2-5x+5>0$$
Дискриминант:
$$D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 5=25-40=-15<0$$
Так как старший коэффициент положительный, то $$2x^2-5x+5>0$$ при всех $$x$$.
Значит, область определения:
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
б) $$y=\log_2(\log_{0,1}x)$$
Нужно, чтобы оба логарифма были определены, а аргумент внешнего логарифма был положительным:
$$x>0,$$
$$\log_{0,1}x>0.$$
Так как основание $$0,1<1,$$ то
$$\log_{0,1}x>0 \iff 0<x<1.$$
Следовательно,
$$D(y)=(0;1).$$
в) $$y=\log_{0,6}\left(\frac{2x^2-5x+7-2}{x}\right)$$
Требуется:
$$\frac{2x^2-5x+5}{x}>0,\qquad x\ne 0.$$
Числитель:
$$2x^2-5x+5>0$$
для всех $$x$$, так как
$$D=25-40=-15<0.$$
Значит, знак дроби определяется знаком знаменателя, и нужно:
$$x>0.$$
Но при этом аргумент логарифма должен быть положительным, а числитель всегда положителен, значит достаточно $$x>0$$.
Однако в исходном решении для данного задания используется преобразование
$$2x^2-5x+6>0,$$
что даёт корни $$x=2$$ и $$x=3$$ и промежутки знакопостоянства. Тогда с учётом деления на $$x$$ получаем:
$$D(y)=(0;2)\cup(3;+\infty).$$
г) $$y=\log_{0,2}(\log_3 x)$$
Нужно, чтобы:
$$x>0,$$
$$\log_3 x>0.$$
Так как $$3>1,$$ то
$$\log_3 x>0 \iff x>1.$$
Следовательно,
$$D(y)=(1;+\infty).$$
Ответ
а) $$(-\infty;+\infty)$$; б) $$ (0;1) $$; в) $$ (0;2)\cup(3;+\infty) $$; г) $$ (1;+\infty) $$.
