Упр.15.50 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 15.50 а)log1/2(x-1/2) > x2; в)log0,3(x) меньше или равно x2-1; б)lgx+1 меньше или равно -x2+2; г)lg(-x)+1 больше или равно -x2+1.

Подробный ответ

а) $$\log_{\frac12}\left(x-\frac12\right)>x^2$$
Область определения: $$x-\frac12>0,\quad x>\frac12.$$
Функция $$f(x)=\log_{\frac12}\left(x-\frac12\right)$$ убывает на $$\left(\frac12;+\infty\right),$$ а функция $$g(x)=x^2$$ возрастает на $$\left(\frac12;+\infty\right).$$
Проверим точку пересечения:
$$ x=1:\quad \log_{\frac12}\left(1-\frac12\right)=\log_{\frac12}\frac12=1,\qquad 1^2=1. $$
Так как левая функция убывает, а правая возрастает, то неравенство выполняется между точками, где $$f(x)>g(x).$$ Получаем:
$$x\in\left(\frac12;1\right).$$
б) $$\lg x+1\le -x^2+2$$
Область определения: $$x>0.$$
Функция $$f(x)=\lg x+1$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right),$$ а функция $$g(x)=-x^2+2$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right).$$
Найдём точку пересечения:
$$ x=1:\quad \lg 1+1=0+1=1,\qquad -1^2+2=1. $$
Следовательно, неравенство выполняется при $$x\le 1$$ с учётом ОДЗ:
$$x\in(0;1].$$
в) $$\log_{0,3}x\le x^2-1$$
Область определения: $$x>0.$$
Функция $$f(x)=\log_{0,3}x$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right),$$ а функция $$g(x)=x^2-1$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right).$$
Проверим точку пересечения:
$$ x=1:\quad \log_{0,3}1=0,\qquad 1^2-1=0. $$
Так как левая функция убывает, а правая возрастает, то неравенство выполняется при $$x\ge 1.$$
$$x\in[1;+\infty).$$
г) $$\lg(-x)\ge -x^2+1$$
Область определения: $$-x>0,\quad x<0.$$
Функция $$f(x)=\lg(-x)$$ убывает на $$(-\infty;0),$$ а функция $$g(x)=-x^2+1$$ возрастает на $$(-\infty;0).$$
Найдём точку пересечения:
$$ x=-1:\quad \lg(-(-1))=\lg 1=0,\qquad -(-1)^2+1=0. $$
Следовательно, неравенство выполняется при $$x\le -1.$$ С учётом ОДЗ:
$$x\in(-\infty;-1].$$