Упр.15.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 15.5. Постройте (схематично) график функции: а) у = log2(х);б) у = log 1/Пи (х); в) у = lg х; г) у = log 1/2 (х).
Для логарифмической функции $$y=\log_a x$$:
- область определения: $$x>0$$;
- график проходит через точку $$\left(1;0\right)$$;
- если $$a>1$$, функция возрастает;
- если $$0<a<1$$, функция убывает;
- вертикальная асимптота: $$x=0$$.
Используем это для построения графиков.
$$y=\log_2 x$$
Так как $$2>1$$, функция возрастает. Для построения удобно отметить точки:
$$\left(1;0\right),\ \left(2;1\right),\ \left(4;2\right),\ \left(\frac12;-1\right).$$
$$y=\log_{\frac1\pi} x$$
Так как $$0<\frac1\pi<1$$, функция убывает. Удобные точки:
$$\left(1;0\right),\ \left(\frac1\pi;1\right),\ \left(\frac1{\pi^2};2\right),\ \left(\pi;-1\right).$$
$$y=\lg x$$
Это логарифм по основанию $$10$$, а значит $$10>1$$, функция возрастает. Удобные точки:
$$\left(1;0\right),\ \left(10;1\right),\ \left(100;2\right),\ \left(0{,}1;-1\right).$$
$$y=\log_{\frac12} x$$
Так как $$0<\frac12<1$$, функция убывает. Удобные точки:
$$\left(1;0\right),\ \left(\frac12;1\right),\ \left(\frac14;2\right),\ \left(2;-1\right).$$
Во всех случаях график имеет вертикальную асимптоту $$x=0$$ и проходит через точку $$\left(1;0\right)$$.
Ответ
Графики функций: $$y=\log_2 x$$ и $$y=\lg x$$ — возрастающие; $$y=\log_{\frac1\pi} x$$ и $$y=\log_{\frac12} x$$ — убывающие. Все проходят через точку $$\left(1;0\right)$$ и имеют асимптоту $$x=0$$.
